Me parece que en el caso \( p_{n2}(x)=p_{n4}(x) \), aunque sean \( k_1\neq k_2 \), se cumple que \( \dfrac{p_{n1}(x)+p_{n3}(x)}{p_{n2}(x)+p_{n4}(x)}=c \)
siendo \( c=\dfrac{k_1+k_2}{2} \)
Saludos
A ha!, esa se me escapó, y en base a eso veo que hay una mas general.... creo que si
$$p_{n1}(x)=k_1p_{n2}(x)$$
$$p_{n3}(x)=k_2p_{n4}(x)$$
y a la vez
$$p_{n2}(x)=k_3p_{n4}(x)$$
$$\displaystyle\frac{P_{n1}(x)+P_{n3}(x)}{P_{n2}(x)+P_{n4}(x)}=\displaystyle\frac{k_1P_{n2}(x)+k_2P_{n4}(x)}{P_{n2}(x)+P_{n4}(x)}=\displaystyle\frac{k_1k_3P_{n4}(x)+k_2P_{n4}(x)}{k_3P_{n4}(x)+P_{n4}(x)}=\displaystyle\frac{k_1k_3+k_2}{k_3+1}=c$$
que cuando $$k_3=-1$$ es decir lo que decía en mi primer mensaje se cumple $$P_{n2}(x)=-P_{n4}(x)$$ y la función no está definida y $$k_3=1$$ es el caso que indica ani_pascual.
La respuesta para hear es que en general no se cumple para cualquier conjunto de 4 polinomios, para que ese ratio sea una constante se necesita ir cumpliendo las condiciones especiales marcadas , entonces si es posible que suceda.
Agrego en los hasta $$n$$ valores de las raíces reales de $$P_{n4}(x)$$ tampoco estaría definida la constante.
PD solo por redundar hay otros casos mas generales donde puede ser constante si
$$p_{n2}(x)=k_3p_{n4}(x)+k_4$$
en ese caso se necesita $$k_1=k_2$$ y ya vimos el caso en que $$k_4 =0$$, que es el caso particular anterior , y resulta siempre en $$k_1=k_2=c$$ y dependiendo del polinomio $$p_{n4}(x)$$ puede haber un valor de $$x$$ que satisface $$(k_3+1)p_{n4}(x)+k_4=0$$ en el cual no estará definida.
