[david__bernal]

Estaba estudiando la convergencia de la sucesión que tiende a la constante de Euler-Mascheroni y me topé con la necesidad de probar que

\( \large\displaystyle \lim_n \sum_{k=n+1}^{\infty}\left(\frac{1}{k} - \log \frac{k+1}{k} \right) = 0 \).

De ahí que proponga probar que dada la serie convergente de números complejos \( \large\sum_{k=0}^{\infty}a_k \), probar que

\( \large\displaystyle \lim_n \sum_{k=n}^{\infty}a_k = 0 \).

No es dificil, una ayuda por si las dudas:

\( \large\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_k = \sum_{k=0}^{N-1} + \sum_{k=N}^{\infty}a_k \)

Dejo acá una posibilidad.

Spoiler

Usamos la relación \( \large\displaystyle \sum_{k=n}^{\infty}a_k = \sum_{k=0}^{\infty}a_k - \sum_{k=0}^{n-1}a_k \).
Dado un \( \large \epsilon > 0 \) existe un \( \large k_0 \) tal que si \( \large n \geq k_0 \), entonces
\( \large\displaystyle \left|\sum_{k=n+1}^{\infty}a_k - 0\right| = \left|\sum_{k=0}^{\infty}a_k - \sum_{k=0}^n a_k \right| < \epsilon  \). Tomando \( \large n_0 = k_0 + 1 \) tenemos que para todo \( \large n \geq n_0 \) se cumple \( \large n -1 \geq k_0 \), luego

\( \large\displaystyle \left|\sum_{k=n}^{\infty}a_k - 0 \right| < \epsilon \)

[cerrar]

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Pero eso es un caso particular de las propiedades básicas de los límites de sucesiones de números reales.

Llama \( x_n = \sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k \) e \( y_n = \sum\limits_{k=n}^\infty a_k \) y llama \( s = \sum\limits_{k=0}^\infty a_k \).

Entonces, por hipótesis, sabes que \( \lim\limits_n x_n = s \), y que \( y_n = s-x_n \). Por lo tanto, existe

\( \lim\limits_n y_n = s - \lim\limits_n x_n = s - s = 0 \).

[ani_pascual]

Hola:

Pero eso es un caso particular de las propiedades básicas de los límites de sucesiones de números reales.

Llama \( x_n = \sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k \) e \( y_n = \sum\limits_{k=n}^\infty a_k \) y llama \( s = \sum\limits_{k=0}^\infty a_k \).

Entonces, por hipótesis, sabes que \( \lim\limits_n x_n = s \), y que \( y_n = s-x_n \). Por lo tanto, existe

\( \lim\limits_n y_n = s - \lim\limits_n x_n = s - s = 0 \).

¿No se suele llamar a \( \{x_n\} \) sucesión de sumas parciales y a \( \{y_n\} \) sucesión de los restos de la serie?
Así, que la serie converge, es decir, que la sucesión de sumas parciales converge, equivale a que la sucesión de los restos converge a \( 0 \), casi, por definición ¿no?
Saludos 🙂

[Carlos Ivorra]

Hola:

Pero eso es un caso particular de las propiedades básicas de los límites de sucesiones de números reales.

Llama \( x_n = \sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k \) e \( y_n = \sum\limits_{k=n}^\infty a_k \) y llama \( s = \sum\limits_{k=0}^\infty a_k \).

Entonces, por hipótesis, sabes que \( \lim\limits_n x_n = s \), y que \( y_n = s-x_n \). Por lo tanto, existe

\( \lim\limits_n y_n = s - \lim\limits_n x_n = s - s = 0 \).

¿No se suele llamar a \( \{x_n\} \) sucesión de sumas parciales y a \( \{y_n\} \) sucesión de los restos de la serie?
Así, que la serie converge, es decir, que la sucesión de sumas parciales converge, equivale a que la sucesión de los restos converge a \( 0 \), casi, por definición ¿no?
Saludos 🙂

Eso es lo que he dicho. He definido cada cosa y el "casi" es que el límite de \( s-x_n \) es la diferencia de los límites, que es \( 0 \).

Supongo que te refieres a que si tratas de aplicar la definición de límite para probar que \( s-x_n \) tiende a \( 0 \) te sale lo mismo que si aplicas la definición de límite al hecho de que \( x_n \) tiende a \( s \), pero es más sencillo aplicar las propiedades algebraicas de los límites que la propia definición.

[ani_pascual]

Hola:

...
Supongo que te refieres a que si tratas de aplicar la definición de límite para probar que \( s-x_n \) tiende a \( 0 \) te sale lo mismo que si aplicas la definición de límite al hecho de que \( x_n \) tiende a \( s \), ...

Exacto, eso es lo que pretendía decir 
Saludos

[david__bernal]

Pero eso es un caso particular de las propiedades básicas de los límites de sucesiones de números reales.

Llama \( x_n = \sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k \) e \( y_n = \sum\limits_{k=n}^\infty a_k \) y llama \( s = \sum\limits_{k=0}^\infty a_k \).

Entonces, por hipótesis, sabes que \( \lim\limits_n x_n = s \), y que \( y_n = s-x_n \). Por lo tanto, existe

\( \lim\limits_n y_n = s - \lim\limits_n x_n = s - s = 0 \).

No lo vi. Sale inmediato así. 

Saludos.