[hear]

Estimados, dados 4 números reales a, b, c y d. Se tienen las siguientes relaciones:

\( a+b=c+d \) y \( a\neq b\neq c\neq d \), Luego se desea conocer si es posible tener que se cumpla también alguna vez en alguna pareja de estos números que: \( a-b=c-d \)? Por favor de ser posible poner un ejemplo o sino la demostración de que esto es imposible para cualesquiera números...

[Pie]

Estimados, dados 4 números reales a, b, c y d. Se tienen las siguientes relaciones:

\( a+b=c+d \) y \( a\neq b\neq c\neq d \), Luego se desea conocer si es posible tener que se cumpla también alguna vez en alguna pareja de estos números que: \( a-b=c-d \)? Por favor de ser posible poner un ejemplo o sino la demostración de que esto es imposible para cualesquiera números...

Supongo que los \( 4 \) números tienen que ser todos distintos. En ese caso es imposible, ya que:

\[ \begin{cases} a+b = c+d\\
a-b = c-d\end{cases} \Longrightarrow{} \]

\[ \begin{cases} a = c+d-b\\
a = c+b-d\end{cases} \Longrightarrow{}
 \]

\( c+d-b = c+b-d \Longrightarrow{} \)

\( d-b = b-d \Longrightarrow{ }d=b \)

PD. En caso de que se permita \( a = c \) y \( b = d \) entonces sí es posible, de hecho ambas igualdades se cumplirian de forma trivial..

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Estimados, dados 4 números reales a, b, c y d. Se tienen las siguientes relaciones:

\( a+b=c+d \) y \( a\neq b\neq c\neq d \), Luego se desea conocer si es posible tener que se cumpla también alguna vez en alguna pareja de estos números que: \( a-b=c-d \)? Por favor de ser posible poner un ejemplo o sino la demostración de que esto es imposible para cualesquiera números...

Como observación adicional, el hecho de que sea imposible se deduce también del hecho de que la función lineal  \( f:\Bbb R^2\to \Bbb R^2 \), \( f(x,y)=(x+y,x-y) \) sea inyectiva. Lo es porque su matriz asociada tiene rango dos (o es inversible).

Por supuesto que la prueba de Pie es más directa en cuanto que no requiere conocimiento alguno sobre aplicaciones lineales.

Saludos.