Dando por hecho (aún no logro probarlo) que \( AT||BC \), es decir, si \( AB=CT \) y \( \angle{COT}=\angle{BOA}=30^{\circ} \), lo cual implica que \( \angle{OCA}=15^{\circ} \) y que \( \angle{TCP}=30^{\circ} \) y esto a su vez que \( \angle{CTP}=60^{\circ}\Longrightarrow \angle{DTP}=45^{\circ}=\angle{TDP} \) ya que \( AB||CD \) y \( \angle{BAC}=90^{\circ} \) implican \( AC\perp CD \) y \( \angle{TPD}=90^{\circ}\Longrightarrow PT||AC \), y además se tiene \( \angle{AOT}=180^{\circ}-(\angle{COT}+\angle{BOA})=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}\Longrightarrow \angle{TCA}=\angle{ABT}=60^{\circ} \).
El área del trapecio viene dada por la expresión
\( S=\dfrac{(AB+CD)}{2}\cdot AC \).
Ahora bien, \( PD=PT=r\sqrt{2} \) siendo \( r>0 \) el radio de la circunferencia pequeña.
y \( R(R+2r)=OP^2=36\,\,\,(\ast) \) siendo \( R>0 \) el radio de la circunferencia grande.
Por otra parte, por el teorema del seno en el triángulo \( \triangle{CDT} \) es
\( \dfrac{CD}{\sin 105^{\circ}}=\dfrac{2r}{\sin 30^{\circ}}\Longrightarrow CD=4r\sin 75^{\circ}=(\sqrt{6}+\sqrt{2})r \) luego \( CP=CD-PD=r\sqrt{6} \).
Por el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo \( \triangle{CPT} \) es \( CT^2=CP^2+PT^2=6r^2+2r^2=8r^2\Longrightarrow CT=AB=2\sqrt{2}r \) y por el teorema del seno en el triángulo \( \triangle{CTA} \) es \( \dfrac{AC}{\sin 105^{\circ}}=\dfrac{CT}{\sin 15^{\circ}}\Longrightarrow AC=2\sqrt{2}r\cdot\dfrac{\sin 75^{\circ}}{\sin 15^{\circ}}=\cdots =(4\sqrt{2}+2\sqrt{6})r \).
Finalmente
\( S=\dfrac{(AB+CD)}{2}\cdot AC=\dfrac{2\sqrt{2}r+(\sqrt{6}+\sqrt{2})r}{2}\cdot (4\sqrt{2}+2\sqrt{6})r=\cdots=(18+10\sqrt{3})r^2 \).
Pero como \( AT=R\sqrt{3} \) y por el teorema del seno en el triángulo \( \triangle{CTA} \) es \( \dfrac{AT}{\sin 60^{\circ}}=\dfrac{CT}{\sin 15^{\circ}} \) se deduce que \( \dfrac{R\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2}=\dfrac{2\sqrt{2}r}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})/4}\Longrightarrow R=2(\sqrt{3}+1)r \), que sustituyendo en \( (\ast ) \), conducen a \( r^2=\dfrac{9}{5+3\sqrt{3}} \).
En definitiva, \( S=(18+10\sqrt{3})r^2=(18+10\sqrt{3})\cdot \dfrac{9}{5+3\sqrt{3}}=\cdots =\boxed{18\sqrt{3}} \)
Nota: Se usa que \( \sin 75^{\circ}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \) y que \( \sin 15^{\circ}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \)
