[manooooh]

Hola!

Tengo el siguiente problema de cuerpo rígido:

El cilindro de la siguiente figura sube rodando sin deslizar bajo la acción de la fuerza paralela al plano indicada. Se pide:

a) Hallar la fuerza de rozamiento que actúa en módulo y sentido.

b) El vector aceleración del centro de masa (CM) a los dos segundos de iniciado el movimiento, asumiendo que parte del reposo.

Datos:

\( R=0.2\,m \)
\( e=0.06\,m \)
\( m=10\,kg \)
\( \beta=30^\circ \)
\( F=50\,N \)




Mi intento para el a) es:

Planteo el diagrama:



Planteo la sumatoria de fuerzas en el eje \( x \) que es positivo hacia donde tira \( \vec F \):

\[ \sum F_x=ma_{cm}\implies F-F_{roce}-P_x=ma_{cm}\quad(1) \]

Planteo la sumatoria de los momentos de las fuerzas que actúan sobre el centro de masa:

\[ \sum\vec M_{cm}=I_{cm}\vec\alpha\implies\vec M_{\vec F\,(cm)}+\vec M_{\vec F_{roce\,(cm)}}+\vec M_{\vec N\,(cm)}+\vec M_{\vec P\,(cm)}=I_{cm}\vec\alpha \]

Los momentos de fuerza de los vectores normal y peso son cero, luego:

\[ \vec r_{\vec F_{(cm)}}\times\vec F+\vec r_{\vec F_{roce\,(cm)}}\times\vec F_{roce}=I_{cm}\vec\alpha \]

Sobre el eje \( z \):

\[ |\vec r_{\vec F_{(cm)}}||\vec F|\sin90^\circ+|\vec r_{\vec F_{roce\,(cm)}}||\vec F_{roce}|\sin90^\circ=I_{cm}\alpha \]

Como tiene rodadura pura \( a_{cm}=\alpha R\implies\alpha=a_{cm}/R \):

\[ eF+RF_{roce}=\frac12mR^2\alpha\quad(2) \]

Sin embargo, en las respuestas plantea las siguientes ecuaciones:

\( F+F_{roce}-P_x=ma_{cm}\quad(1') \)

\[ eF-RF_{roce}=\frac12mR^2\alpha\quad(2') \]

Como ven, tanto las ecuaciones (1) y (1') como (2) y (2') son distintas, por el signo de la fuerza de roce.

Yo en el diagrama me fijé el signo (en naranja) de la fuerza de roce y comprobé que gira en el mismo sentido que la aceleración angular.

¿Estoy equivocado?

Gracias!!
Saludos

[ani_pascual]

Hola!

Tengo el siguiente problema de cuerpo rígido:

El cilindro de la siguiente figura sube rodando sin deslizar bajo la acción de la fuerza paralela al plano indicada. Se pide:

a) Hallar la fuerza de rozamiento que actúa en módulo y sentido.

b) El vector aceleración del centro de masa (CM) a los dos segundos de iniciado el movimiento, asumiendo que parte del reposo.

...

Yo lo había planteado como tú 
Por cierto, ¿hay que dejar el resultado en función de la masa \( m  \)?
Respecto al apartado b), la pregunta es por el vector aceleración del CM o por el vector velocidad del CM a los dos segundos de iniciado el movimiento? 🤔
Saludos

[manooooh]

Hola

Yo lo había planteado como tú 

¡Qué alivio!

De todas maneras, vi que otra persona indicó en el sentido contrario a la fuerza de roce del que marcamos tú y yo. O sea la fuerza F y Froce aplicadas hacia el mismo lado. Creo que ahí los signos quedan como en la respuesta, pero... ¿está bien que la fuerza y la fuerza de roce apunten para el mismo lado? Yo creía que la fuerza de roce siempre se opone al movimiento, y como el enunciado dice que "sube sin deslizar", pues la fuerza de roce actúa para abajo

Por cierto, ¿hay que dejar el resultado en función de la masa \( m  \)?

Creo que no. La masa es dato y vale \( 10\,kg \). La solución da \( F=10\,N \) hacia arriba.

Respecto al apartado b), la pregunta es por el vector aceleración del CM o por el vector velocidad del CM a los dos segundos de iniciado el movimiento? 🤔

Según la respuesta:

\( \alpha=5\,rad/s^2\implies a_A=\alpha\cdot R=5\,rad/s^2\cdot R \)

\( a_A=1.4\,m/s^2 \) formando un ángulo de \( 45^\circ \) con el plano inclinado.

Entiendo que \( a_A \) quiso decir \( a_{cm} \), pero no usó para nada el tiempo. No sé si estará bien.

Saludos

[ani_pascual]

Hola:

...
¿está bien que la fuerza y la fuerza de roce apunten para el mismo lado? Yo creía que la fuerza de roce siempre se opone al movimiento, y como el enunciado dice que "sube sin deslizar", pues la fuerza de roce actúa para abajo
 ..

Eso pensé yo... .
¡Es cierto! No me había fijado en que la masa era un dato. 
Si no me he equivocado en los cálculos, me parece que
tomando \( g=10\,m/s^2 \), se ve que como \( m=10\,kg> 4\,kg \) la fuerza \( F=50\,N \) no logra que el cilindro ascienda por el plano inclinado y el sentido de la fuerza de rozamiento es hacia arriba ya que el cilindro baja.
Si fuera \( m<4\,kg \) entonces la fuerza \( F=50\,N \) sí lograría que el cilindro ascendiera por el plano inclinado y el sentido de la fuerza de rozamiento sería hacia abajo.
...

...
Entiendo que \( a_A \) quiso decir \( a_{cm} \), pero no usó para nada el tiempo. No sé si estará bien.
...

Eso es lo que me extrañó. Si la aceleración del CM es constante, no depende del tiempo, por eso pensé que quizás se refería a la velocidad a los 2 s.
Saludos

[delmar]

Hola manooooh con celular y muy de noche, la fuerza de rozamiento es hacia arriba, en realidad sin rozamiento el cilindro no puede rodar hacia arriba, mañana lo desarrollo.

Saludos

[ani_pascual]

Hola:

Hola manooooh con celular y muy de noche, la fuerza de rozamiento es hacia arriba, en realidad sin rozamiento el cilindro no puede rodar hacia arriba, mañana lo desarrollo.
...

El análisis que sigue es incorrecto. Sorry!   
Léanse los de delmar y Richard R Richard  
Supongo que si no hubiera rozamiento, la fuerza \( F=50\, N \),  sí podría subir el cilindro, siempre y cuando éste tuviera una masa \( m<10\,kg \), pues en ese caso la aceleración del CM hacia arriba del plano inclinado es \( a=\dfrac{F}{m}-g\sin 30^{\circ}=\dfrac{50}{m}-\dfrac{10}{2}>0 \).
Ahora bien, si hay rozamiento y el cilindro asciende, ¿no sería su sentido hacia abajo? ¿No debería ser su masa \( m<4\, kg \)?
En mi opinión, si el cilindro sube
se tiene
\( F-mg\sin 30^{\circ}-F_r=ma\\I\alpha=eF+RF_r \) es decir, \( a=\dfrac{50}{m}-5-\dfrac{F_r}{m} \) y sustituyendo
\( \dfrac{1}{2}mR\left(\dfrac{50}{m}-5-\dfrac{F_r}{m}\right)=50e+RF_r \) de donde
\(  F_r=\dfrac{2}{3}\left(25-\dfrac{mg}{4}-\dfrac{50e}{R}\right) \) y si fuera  \( m<4\,kg \) resultaría \( F_r>0 \).
Pero como es \( m=10\,kg \), creo que el cilindro, en realidad baja y el rozamiento es hacia arriba;
se tiene
\( mg\sin 30^{\circ}-F-F_r=ma\\I\alpha=RF_r-eF \) es decir, \( a=5-\dfrac{50}{m}-\dfrac{F_r}{m} \) y sustituyendo
\( \dfrac{1}{2}mR\left(5-\dfrac{50}{m}-\dfrac{F_r}{m}\right)=RF_r-50e \) de donde
\(  F_r=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{mg}{4}+\dfrac{50e}{R}-25\right)=10\,N \).
No obstante,  esperamos tu desarrollo...
Saludos

[delmar]

Ahora el desarrollo.

Considerando una referencia XYZ solidaria al plano inclinado, con el origen coincidente con el centro de masa del cilindro en t=0, lo muestro en la figura adjunta :





Se observa que el cilindro sube rodando sin deslizar por el plano inclinado. Para el centro de masa c se tiene :

\( r_c(t)=x \vec{i} \) vector posición

\( v_c(t)=x' \vec{i} \) velocidad

\( a_c(t)=x'' \vec{i} \) aceleración

Todas son funciones vectoriales del tiempo t y se tiene también posición inicial en el origen y parte del reposo.

\( r_c(0)=0, \ \ \ v_c(0)=0 \)

Para todo \( t\geq{0} \) las fuerzas que se ejercen sobre el cilindro son esencialmente las mismas descritas por manooooh, es decir F, el peso W, ambas constantes (módulo dirección y sentido) y  la reacción normal N y la fuerza de rozamiento \( F_r \) con la diferencia que va hacia arriba. Estas  últimas fuerzas, sin mayor análisis,  no se sabe sin son variables en módulo; podrían ser sus módulos funciones del tiempo.

Vectorialmente :

La fuerza F es \( F\vec{i} \)

El peso es \( -mg sen \beta \vec{i}-mg cos \beta \vec{j} \ \ \ \forall{t}\geq{0} \)

La reacción normal \( N \vec{j}, \ \ N>0 \)

La fuerza de rozamiento \( F_r \vec{i} \ \ F_r>0 \)

Estas dos últimas en forma general son funciones del tiempo.

¿Por qué la fuerza de rozamiento es hacia arriba?

El cilindro rueda en sentido horario, la fuerza de rozamiento sobre el cilindro, se opone al  movimiento del punto P (punto del cilindro que esta en contacto con el plano) respecto al plano inclinado, ese punto esta en reposo pero se moverá a la izquierda, luego la fuerza de rozamiento es hacia la derecha, es de rozamiento estático; pero en rigor \( F_r\leq{\mu N} \) no necesariamente es igual; es igual cuando esta en movimiento inminente.

Se cumplen las leyes de la dinámica de cuerpo rígido en el plano.

\( \displaystyle\sum_{}^ {}F_x=m x''\Rightarrow{F-mgsen \beta+F_r=mx'' \ \ \forall{t\geq{0}}} \) Ec 1



\( \displaystyle\sum_{}^ {}F_y=0\Rightarrow{N-mgcos \beta=0}\Rightarrow{N=mgcos \beta \ \ \forall{t\geq{0}}} \) Ec 2

Ahora sí se puede decir que N es constante.

\( \displaystyle\sum_{}^{}\bar{M}=\bar{I} \alpha\Rightarrow{-Fe+F_rR=\displaystyle\frac{1}{2}mR^2 \alpha} \) Ec 3


Se observa que en rigor \( F_r, \alpha, x'' \)  son funciones del tiempo t

En este punto se considera la relación cinemática entre dos puntos cualesquiera de un cuerpo rígido, en este caso para los puntos c y P punto del cilindro en contacto con el plano, al no haber deslizamiento tiene la velocidad 0, la relación es instantánea, obviamente c es el mismo punto material; pero P es distinto en el tiempo.

\( v_c=v_P+w\vec{k} \ \ X  \ \ r_{c/P} \) donde \( w\vec{k} \) y \( r_{c/P} \) es la posición de c respecto a P, dando valores se tiene :

\( x'\vec{i}=0+w\vec{k} \ \  X \ \ R\vec{j}\Rightarrow{x'=-wR}\Rightarrow{x''=-\alpha R \ \ \forall{t}\geq{0}} \) Ec 4

Sustituyendo la Ec 4 en la 1 se tiene :


\( F-mgsen \beta+F_r=mR \alpha \)    Ec I

\( -Fe+F_rR=\displaystyle\frac{1}{2}mR^2 \alpha \) Ec II

Aún siendo las incógnitas, funciones del tiempo \( F_r \wedge \alpha \) se puede resolver el sistema y se encuentra :


\( F_r=\displaystyle\frac{mgRsen \beta+2Fe-FR}{3R}=9.67 \ \ N \)

Recién se demuestra que \( F_r \) es constante

\( \alpha=\displaystyle\frac{mgsen \beta -F-F_r}{mR}=-5.333 \ rad/s^2 \)

Se ve que también \( \alpha \) es constante durante la subida

\( x''=-R \alpha=1.066 \ m/s^2 \) y también la aceleración del centro de masa es constante, en consecuencia es válido para los 2 segundos, otra cosa sería la velocidad.

Saludos

[Richard R Richard]

Coincido con Delmar ,  con pequeñas diferencias pues usando $$g=10m/s^2$$ todo da con números enteros y en el signo de la aceleración angular, pero solo por elegir otra convención de referencias .
Lo importante manooooh, es que pienses es en que dirección necesita tener la fuerza de rozamiento para que si el cilindro gira en el sentido de las agujas del reloj, esta se oponga al movimiento de deslizamiento respecto de la superficie,  si no hay otras fuerza el peso lo llevara a decender , el rozamiento  ira en ascenso, pero ademas  existe otra fuerza  F que  provoca un par acelerador de la rotación de la superficie inferior en el sentido de descenso, por lo que el rozamiento tambien debe oponerse a este giro oponiéndose a ese descenso.


Los vectores puedes expresarlos en cualquier sistema de referencia coherente, eligiendo las $$x$$ positivas paralelas al plano y en ascenso, según como tomes las $$y$$ , que no intervienen directamente en la resolución del problema, pero te darán el signo coherente de la aceleración angular.


$$\sum F_y=0=N-mg\cos\beta$$



$$\sum F_x=F+F_r-mg\sin\beta=m\alpha R$$



$$\sum M=Fe-F_rR=I\alpha=\dfrac12mR^2$$


que despejando te da $$F_r=10N$$ positiva porque coincide con  la predicción de ser ascendente en x , y $$\alpha=5rad/s$$ según mi convención


fijate que la formula que queda es 


$$F_r=\dfrac{F\left(\dfrac{2e}{R}-1\right)+mg\sin30}{3} $$


de allí puedes observar que si aumenta F es el rozamiento debe disminuir para lograr rodadura, lo mismo si se reduce la masa, mientras  $$e<R/2$$ pero también que existen condiciones  para la aplicación de la fuerza F en la que se puede lograr rodadura  sin fuerza de rozamiento,  es decir $$F_r=0$$  , por ejemplo si $$F$$ fuera de 125N , para fuerzas superiores la fuerza F provoca tanto torque que el rozamiento no será suficiente para evitar el deslizamiento, es decir por encima de 125N de  fuerza , no puede darse la rodadura

[martiniano]

Hola.

fijate que la formula que queda es 


$$F_r=\dfrac{F\left(\dfrac{2e}{R}-1\right)+mg\sin30}{3} $$


de allí puedes observar que si aumenta F es el rozamiento debe disminuir para lograr rodadura, lo mismo si se reduce la masa, mientras  $$e<R/2$$ pero también que existen condiciones  para la aplicación de la fuerza F en la que se puede lograr rodadura  sin fuerza de rozamiento,  es decir $$F_r=0$$  , por ejemplo si $$F$$ fuera de 125N , para fuerzas superiores la fuerza F provoca tanto torque que el rozamiento no será suficiente para evitar el deslizamiento, es decir por encima de 125N de  fuerza , no puede darse la rodadura

Yo creo que, en principio, no pasa nada porque la fuerza de rozamiento fuese negativa. Será la que tenga que ser, con signo incluido para que ruede sin deslizar. La condición es que su módulo no puede rebasar \[ \mu N \] (según el modelo de fricción que se asuma) con lo que la fuerza \[ F \] a partir de la cual se produce deslizamiento será mayor a 125 N y dependerá del coeficiente de fricción. Cuanto mayor sea éste, mayor será la fuerza que habrá que hacer para lograr deslizamiento.

Esto puede verse de forma bastante intuitiva. Sin fricción (\[ \mu=0 \]) sería prácticamente imposible que rodase sin deslizar. Sólo sucedería para \[ F=125 N \]. En cambio, si la fricción es muy grande (imagínate pegamento en la superficie) podríamos meter más F sin deslizar.

¿No? 

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola, ten en cuenta que F a la vez de acelerar el CM también produce torque, y si se produce en exceso hay deslizamiento,   pues la normal no cambia de valor  y el coeficiente  de rozamiento lo estamos considerando constante. El torque es aprovechado para acelerar sin deslizar pero tiene una relación clara  definida para la rodadura, si te pasas de torque habrá rozamiento pero dinámico ,no estático , y la aceleracion de traslación  no estará  relacionada con la angular, por eso  los casos donde ya necesites rozamiento negativo no permiten rodadura.

Si el rozamiento estático es mayor a la componente del peso paralela al plano mas lo que aporta la fuerza, entonces el cilindro no se mueve, y tampoco rueda.

Si sigues bajando la fueza entonces puede llagar a moverse descendiendo, así la fuerza  de rozamiento invertirá de sentido,  pero también hasta cierto límite de coeficiente de fricción,  descendera rodando, y pasado eso descendera rodando y deslizando.

Es decir hay variedad de formas de analizar enunciados similares, solo intentaba ponerte un poco más claro como apuntan las flechas de las fuerzas de roce sobre el cilindro que es lo que interesa, si evaluar fuerzas tanto el peso como la fuerza aplicada se anulan pero lo que hace ascender al cilindro es el giro por  el  torque provocado por la fuerza externa, como este toque haría que la superficie se mueva hacia abajo, el rozamiento  actuará en contra de ese posible movimiento y desequibra la fuerzas paralelas haciendo  que la resultante sea positiva  en vez de nula , entonces el cilindro  asciende.