[Eparoh]

Hola a todos.

En el libro Classical descriptive set theory de Kecrhis hay una afirmación que he utilizado en varias ocasiones, pero que no se demuestra. Hoy he intentado demostrarla y no he llegado a mucho, así que lo pongo por aquí para ver si a alguien se le ocurre como demostrarlo. El resultado en sí es el siguiente:

Si \( X \) es un espacio polaco, se cumple que un subconjunto de \( X \) es Borel \( \boldsymbol{\Sigma}_1^1 \)-hard (completo) si, y solo si, es \( \boldsymbol{\Sigma}_1^1 \)-hard (completo).

Las definición pertinente es la siguiente:

Sea \( X \) un conjunto polaco y \( A \subset X \). Se dice que \( A \) es \( \boldsymbol{\Sigma}_1^1 \)-hard (resp. Borel \( \boldsymbol{\Sigma}_1^1 \)-hard) si para cada \( B \in \boldsymbol{\Sigma}_1^1(Y) \) con \( Y \) un espacio polaco cerodimensional, existe una aplicación continua (resp. Boreliana) \( f: Y \rightarrow X \) tal que \( B = f^{-1}(A) \). Si además \( A \) es analítico, entonces se dice que es \( \boldsymbol{\Sigma}_1^1 \)-completo (resp. Borel \( \boldsymbol{\Sigma}_1^1 \)-completo).

Es obvio que si un conjunto es \( \boldsymbol{\Sigma}_1^1 \)-hard, entonces es Borel \( \boldsymbol{\Sigma}_1^1 \)$-hard, pero el recíproco no lo veo claro. Si asumo el axioma de determinación analítica, entonces la prueba es casi inmediata:

Si \( A \subset X \) es Borel \( \boldsymbol{\Sigma}_1^1 \)-hard, entonces no puede ser coanalítico y con ello es \( \boldsymbol{\Sigma}_1^1 \)-hard (Ejercicio 26.5 del libro de Kechris).

Ahora, sin usar este axioma, la cosa parece más complicada y no se me ocurre nada.

Cualquier idea es bienvenida

Un saludo y gracias por las respuestas.

[Carlos Ivorra]

Le he preguntado a la IA y me ha llevado al artículo que adjunto. No lo he leído. Por lo visto Kechris no lo demuestra en su libro porque requiere técnicas efectivas, no meramente clásicas.

[Eparoh]

Hola Carlos.

Muchas gracias por el artículo. Voy a echarle un vistazo. Ya imaginaba que se necesitaban técnicas efectivas, pero tampoco le costaba nada poner la referencia en su libro... 

Por cierto, ¿a qué IA le preguntaste? Porque yo le pregunté a un par cuando ya no se me ocurría ni encontraba nada y solo me dieron "basura". Una se inventaba artículos y la otra me daba pruebas erróneas, pero ninguna me dió este artículo que prueba exactamente lo que busco

Un saludo

[Carlos Ivorra]

Simplemente tecleé esto en google:

Kechris en su libro Classical Descriptive Set Theory (página 207) afirma que si X es un espacio polaco, un conjunto es Borel Sigma_1^1 hard complete si y sólo si es Sigma_1^1 hard complete, pero no da referencia alguna. ¿Puedes darme una?

La respuesta fue:

La respuesta exacta que buscas se encuentra en un artículo publicado por el propio Alexander S. Kechris en 1997. [1]
El artículo se titula "On the Concept of $\Pi_1^1$-Completeness" (Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 125, Nº 6, pp. 1811–1814). Aunque el título mencione formalmente la clase dual $\text{Co-analítica}$ ($\Pi_1^1$), el resultado se aplica idénticamente a conjuntos $\text{Analíticos}$ ($\Sigma_1^1$) mediante el paso a complementos. [1]
## Contexto de la referencia
En la introducción de dicho artículo, Kechris explica explícitamente la motivación detrás de su publicación: [1, 2]

   1. El problema: Por definición, un conjunto es $\Sigma_1^1$-hard si cualquier conjunto analítico puede reducirse a él mediante una función continua. Por otra parte, se define como Borel $\Sigma_1^1$-hard si la reducción se realiza mediante una función Borel-medible. [2, 3]
   2. La equivalencia: Es evidente que la dureza continua implica la dureza Borel. La pregunta de si el recíproco también es cierto (es decir, si las reducciones Borel bastan para caracterizar la dureza clásica) era una duda frecuente en la comunidad matemática. [2]
   3. El origen: Kechris señala en el texto que fue Randall Dougherty quien le planteó formalmente esta cuestión. [2]

Para demostrar que ambos conceptos coinciden de forma intrínseca en cualquier espacio polaco, Kechris utiliza en su demostración técnicas de teoría descriptiva efectiva de conjuntos (particularmente inspiradas en los métodos de Leo Harrington y el propio Kechris). Con este artículo se cerró la brecha conceptual, justificando formalmente la afirmación sin referencia que incluyó en su libro de 1995. [1, 2, 4]
Si tienes acceso a bases de datos académicas o repositorios institucionales, puedes consultar el texto completo buscando directamente su identificador digital: doi:10.1007/s0002-9939-97-03770-2 o a través de plataformas de literatura científica [On the concept of ₁¹-completeness](https://scispace.com/pdf/on-the-concept-of-completeness-9a9tp6b2a2.pdf). [2]
Si lo deseas, puedo ayudarte a profundizar en este tema si me indicas si te interesa:

* Analizar el esquema general de la demostración basada en teoría efectiva (lightface).
* Conocer cómo afecta esta equivalencia a otras clases de la jerarquía proyectiva ($\Sigma_n^1$).
* Estudiar el Teorema de Cambio de Topología que permite tratar funciones Borel como continuas en contextos similares. [5, 6]


[1] [https://scispace.com](https://scispace.com/pdf/on-the-concept-of-completeness-9a9tp6b2a2.pdf)
[2] [https://scispace.com](https://scispace.com/pdf/on-the-concept-of-completeness-9a9tp6b2a2.pdf)
[3] [https://scispace.com](https://scispace.com/pdf/on-the-concept-of-completeness-9a9tp6b2a2.pdf)
[4] [https://unina2.on-line.it](https://unina2.on-line.it/sebina/repository/catalogazione/documenti/Kechris%20-%20Classical%20descriptive%20set%20theory.pdf)
[5] [https://www.sciencedirect.com](https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0001870814002758)
[6] [https://www.reddit.com](https://www.reddit.com/r/math/comments/k68a02/whats_the_deal_with_the_borel_hierarchy/)

El artículo lo saqué del propio enlace que figura en la respuesta. Por lo visto el artículo es posterior al libro.

[Eparoh]

Hola Carlos.

Pues nada, oficialmente y con tan solo 31 años ya me he convertido en un señor mayor que no sabe usar las nuevas tecnologías

Ahora al menos sé que la IA del buscador de Google parece funcionar mucho mejor para encontrar referencias que su propia IA general

Un saludo y gracias de nuevo.