Hola
Primero probamos la siguiente propiedad.
Si en un cuadrilátero dividimos los lados opuestos en tres partes iguales y unimos por segmentos las correspondientes divisiones, se forman tres cuadriláteros de manera que el área del central es la semisuma del área de los extremos:
Si nos fijamos en el segundo dibujo basta tener en cuenta que por el Teorema de Tales y debido a que \( A'B'=B'C'=C'D' \), las alturas \( h_1,h_2,h_3 \) están en progresión aritmética y por tanto como \( AB=BC=CD \), las áreas de los triángulos \( ABA' \), \( BCB' \), \( CDC' \) están en progresión aritmética.
Con el argumento análogo se prueba que las áreas de los triángulos \( A'B'B \), \( B'C'C \) y \( C'D'D \) están en progresión aritmética y de ahí las áreas de los cuadriláteros formados por los correspondientes pares de triángulos también están en progresión aritmética \( \text{área}(ABB'A'),\text{área}(BCC'B),\text{área}(CDD'C') \) de donde:
\( \text{área}(BCC'B)=\dfrac{\text{área}(ABB'A')+\text{área}(CDD'C')}{2} \)
Si ahora aplicamos esto a la figura:
Tenemos:
\( A=\dfrac{X+Z}{2},\quad 8=\dfrac{Y+T}{2}\quad \Rightarrow{}\quad A+8=\dfrac{X+Y+Z+T}{2} \)
y
\( 6=\dfrac{X+Y}{2},\quad 12=\dfrac{Z+T}{2}\quad \Rightarrow{}\quad 6+12=\dfrac{X+Y+Z+T}{2} \)
De donde:
\( A+8=6+12\quad \Rightarrow{}\quad A=6+12-8=10 \).
Saludos.
P.D. Análogamente se prueba que si en un cuadrilátero dividimos los lados opuestos en \( n \) partes iguales y unimos por segmentos las correspondientes divisiones, se forman \( n \) cuadriláteros de manera que las áreas están en progresión aritmética.
