[Albersan]

Hola, que tal?

Me podrían ayudar con lo siguiente, por favor.


Sea \( \vec{F}(x,y)=\left<{P(x,y),Q(x,y)}\right> \), donde \( P,Q \) tienen primeras derivadas parciales continuas. Si C es una curva cerrada, simple, suave a trozos. Si D es la region limitada por C, entonces \( \displaystyle\oint_{}^{}\overrightarrow{F}\cdot{\overrightarrow{dr}}={\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{}}_Drot(\vec{F})dA \).

La intención de este problema es entender el por que la integral de línea sobre una curva cerrada es a lo que se aproxima una poligonal que es suave por partes, que puede estar inscrita, circunscrita, o una combinación de ambos con respecto a la curva C.
Dividimos la región en una malla de pequeños cuadrados de tal forma que los cuadrados exteriores de esta malla formen una curva poligonal cerrada. Supongamos que esta curva poligonal esta inscrita dentro de la curva \( C \). Ahora, para un cuadrado diminuto de área \( \Delta{A} \), \( {\displaystyle\oint_{}^{}}_{dA}{\vec{F\cdot{\vec{r}}}}\approx{{rot(\vec{F})\Delta{A}}} \). Ahora sumemos la contribución de cada cuadrado de esta malla. \( \displaystyle\sum_{j}{{\displaystyle\oint_{{}^{}}}_{Q_j}{\vec{F\cdot{d\vec{r}}}}} \). Como las integrales de linea, de los cuadrados interiores se cancelan con las integrales de linea de los cuadrados adyacentes (uno recorre el lado en un sentido y el otro en sentido opuesto), la suma de las integrales de linea de todos los cuadrados de la malla, es la suma de la integral de linea sobre la poligonal externa. \( \displaystyle\sum_{j}{{\displaystyle\oint_{{}^{}}}_{Q_j}{\vec{F\cdot{d\vec{r}}}}}={\displaystyle\oint_{}^{}}_{P}\vec{F\cdot{d\vec{r}}} \). Pero esta ultima igualdad es aproximadamente \( \displaystyle\sum_{j}rot(\vec{F})\Delta{A_j} \). Tomando limite \( {\displaystyle\oint_{}^{}}_{P}\vec{F\cdot{d\vec{r}}}={\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{}}_{R}rot(\vec{F})dA \), donde P es la frontera poligonal y R es la región que está contenida en ella.

Ahora, sea \( {\displaystyle\oint_{}^{}}_C\vec{F\cdot{d\vec{r}}}={\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{}}_{D}rot(\vec{F})dA \). Restando \( {\displaystyle\oint_{}^{}}_C\vec{F\cdot{d\vec{r}}}-{\displaystyle\oint_{}^{}}_{P}\vec{F\cdot{d\vec{r}}}={\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{}}_{D{-R}}rot(\vec{F})dA \), donde D-R es el área de la región comprendida entre   la curva D y la poligonal R. Sea M una cota de \( |rot(\vec{F})| \) en la región. Entonces \( \left |{{\displaystyle\oint_{}^{}}_C\vec{F\cdot{d\vec{r}}}-{\displaystyle\oint_{}^{}}_{P}\vec{F\cdot{d\vec{r}}}}\right |\leq{M*Area(D-R)} \). Al refinar la poligonal \( Area(D-R)\longrightarrow{0} \), por lo que \( {\displaystyle\oint_{}^{}}_{P}\vec{F\cdot{d\vec{r}}}\longrightarrow{{{\displaystyle\oint_{}^{}}_C\vec{F\cdot{d\vec{r}}}}} \)


Quisiera saber si esto se puede ver como una idea de demostración.


Muchas gracias

[Masacroso]

Seguramente se pueda sacar una demostración partiendo de esa idea, pero es esencial en tal caso precisar cuantitativamente la aproximación \( \oint_{dA}\vec F\cdot\vec r\approx \operatorname{rot}(\vec F)\Delta A \), especialmente respecto al número de sumandos (de cuadraditos \( A \)) implicados. Si tuviera que hacer tal demostración, lo más elemental posible, lo primero que haría sería partir de la definición de la integral de Riemann, o Lebesgue si dispones de ella.

Una idea mucho más sencilla para una demostración así es definir la integral sobre un área ligeramente mayor a \( D \), la cual existe siempre y cuando \( \operatorname{rot}(F) \) sea continua en tal región, y multiplicar a \( \operatorname{rot}(F) \) por una sucesión de funciones \( \{f_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) tal que el soporte de las funciones de tal sucesión converja a \( D \), y \( |\operatorname{rot}(F) f_n|\to |\operatorname{rot}(F)| \) converja puntualmente, de algún modo que te permita saber que

\[
\lim_{n\to \infty }\int_{U}|\operatorname{rot}(F)f_n|\,d A=\int_{U}|\operatorname{rot}(F)|\,d A
\]

donde \( D\subset U \) y \( U \) es esa región ligeramente más grande de la que te hablaba. Tal igualdad es cierta invocando algunos de los teoremas como el de convergencia uniforme, convergencia monótona o convergencia dominada. Entonces tal límite demuestra que para cualquier región poligonal \( H\subset \mathbb{R}^2 \) tal que \( D\subset H\subset \operatorname{supp}(f_n) \) donde la integral \( \int_{H}|\operatorname{rot}(F)|\,d A \) esté bien definida, se tiene que \( \left| \int_{H}\operatorname{rot}(F)\,d A \right|\leqslant \int_{U}|\operatorname{rot}(F)f_n|\,d A \), que es en esencia lo que buscábamos demostrar (en lo anterior \( \operatorname{supp}(f) \) es el soporte de \( f \)).

[Albersan]

Gracias Masacroso, por tu respuesta. Necesito más tiempo para analizarla, debido a que hay conceptos que no entiendo.



Gracias.

[Masacroso]

Se puede hacer lo siguiente (que contiene algunas ideas intuitivas expresadas en tu primer mensaje y las ideas que te mencionaba yo en mi mensaje anterior): sea \( \{D_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) una sucesión de áreas de contorno poligonal tales que \( D\subset D_n \) para todo \( n \) y \( \lim_{n\to \infty }\lambda _2(D_n\setminus D)=0 \) (ahí \( \lambda _2(H) \) representa el área de una región \( H \) del plano). Sin pérdida de generalidad podemos suponer que \( D_n \subset K \) para todo \( n \in \mathbb{N} \), donde \( K \) es un rectángulo en el plano, entonces si \( F\in C^1(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^2) \) la función \( x\mapsto |\operatorname{rot}(F)|(x) \) es continua en \( K \), por tanto al ser \( K \) compacto la función tiene un máximo \( M\geqslant 0 \) allí, de donde se sigue que

\[
\left| \int_{D_n}\operatorname{rot}(F)\,dA-\int_{D}\operatorname{rot}(F)\,d A \right|=\left| \int_{D_n\setminus D}\operatorname{rot}(F)\,d A \right|\leqslant \int_{D_n\setminus D}|\operatorname{rot}(F)|\,d A\leqslant M \cdot \lambda _2(D_n\setminus D)
\]

Es decir, que \( \lim_{n\to \infty }\int_{D_n}\operatorname{rot}(F)\,d A=\int_{D}\operatorname{rot}(F)\,d A \), que es en esencia lo que queríamos demostrar (el resultado de este límite puede también justificarse con el teorema de convergencia dominada donde podíamos haber definido \( f_n:=\mathbb{1}_{D_n} \)). Quedaría por demostrar que tal sucesión \( \{D_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) siempre existe si \( D \) es lo suficientemente regular, y para esto tendríamos que invocar teoremas más técnicos sobre la medida de Jordan o la de Lebesgue.

[Albersan]

Hola Masacroso, gracias por tu respuesta. Quisiera corregir mi primer mensaje, en donde he usado poligonales inscritas en la región, utilizando ahora una poligonal cualquiera. ¿Me podrías explicar por favor, que significa cuando dices \( \{D_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) una sucesión de áreas de contorno poligonal?


Sea un pequeño cuadradito dentro de la región. La circulación de cada cuadradito i, es aproximadamente igual a su rotacional multiplicado por su pequeña area \( \Delta{A_i} \). \( \displaystyle\oint_{C_{i}}\vec{F\cdot{d\vec{r}}}\approx{rot(\vec{F})_i}\cdot{\Delta{A_i}} \). Ahora sumamos la contribucion de cada pequeño cuadrado, formando una malla, que cubre la región R. \( \displaystyle\sum_{i}{\displaystyle\oint_{C_{i}}\vec{F\cdot{d\vec{r}}}}=\displaystyle\oint_{C_{falso}}\vec{F\cdot{d\vec{r}}}\approx\displaystyle\sum_{i}{{rot(\vec{F})_i}\cdot{\Delta{A_i}}} \), donde por \( C_{falso} \), me refiero al contorno de la poligonal, ya que la suma de las integrales de linea de los cuadraditos interiores de la malla equivale a cero, ya que las contribuciones se calcelan con la de los cuadraditos adyacentes. Sea C la curva que rodea a R, y \( C_{falso} \), la poligonal que rodea la región o malla \( R_{falso} \).
Definamos la región \( \Delta{R}=(R\cup{R_{falso}})-(R\cap{R_{falso}}) \). Entonces \( \displaystyle\oint_C\vec{F\cdot{d\vec{r}}}-\displaystyle\oint_{C_{falso}}\vec{F\cdot{d\vec{r}}}=\displaystyle\oint_{d(\Delta{R})}\vec{F\cdot{d\vec{r}}} \). Aplicando el teorema de Green a \( \displaystyle\oint_{d(\Delta{R})}\vec{F\cdot{d\vec{r}}}\approx\displaystyle\sum_{i}{{rot(\vec{F})_i}\cdot{\Delta{A_i}}}=\displaystyle\int\displaystyle\int_{\Delta{R}}(\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}-\frac{{\partial P}}{{\partial y}})dA \). Esto ultimo es cierto debido a que al hacer el area de los cuadraditos cada vez mas pequeños en la region en cuestion, podemos formar una suma de Riemann de pequeños prismas de area \( \Delta{A_i} \), y altura \( rot(\vec{F})_i \).
Ahora, \( \left |{\displaystyle\oint_C\vec{F\cdot{d\vec{r}}}-\displaystyle\oint_{C_{falso}}\vec{F\cdot{d\vec{r}}}}\right |=\left |{\displaystyle\int\displaystyle\int_{\Delta{R}}rot(\vec{F})}dA\right |\leq{{\displaystyle\int\displaystyle\int_{\Delta{R}}|rot(\vec{F})|}dA}\leq{M\displaystyle\int\displaystyle\int_{\Delta{R}}{dA}} \). Donde hemos usado el hecho que \( \left |{Q_x-P_y}\right |\leq{M} \), para todo \( (x,y) \) en la región. A medida que el tamaño de los cuadrados individuales tiende a 0, la cuadrìcula se vuelve infinitamente fina. Es decir \( \displaystyle\lim_{\Delta{A_i} \to{}0}{{Area}(\Delta{R})=0} \). Por lo tanto \( \displaystyle\lim_{\Delta{A_i} \to{}0}{\left |{{\displaystyle\oint_C\vec{F\cdot{d\vec{r}}}-\displaystyle\oint_{C_{falso}}\vec{F\cdot{d\vec{r}}}}}\right |}\leq{M\cdot{0}}=0 \). Y de esta manera la integral de linea sobre la poligonal tiende a la integral de linea de la curva.



Muchas gracias

[Masacroso]

Hola Masacroso, gracias por tu respuesta. Quisiera corregir mi primer mensaje, en donde he usado poligonales inscritas en la región, utilizando ahora una poligonal cualquiera. ¿Me podrías explicar por favor, que significa cuando dices \( \{D_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) una sucesión de áreas de contorno poligonal?

Cada \( D_n \) es una región del plano cuyo contorno es poligonal, es decir, es la unión de un número finito de puntos por segmentos.

Sea un pequeño cuadradito dentro de la región. La circulación de cada cuadradito i, es aproximadamente igual a su rotacional multiplicado por su pequeña area \( \Delta{A_i} \). \( \displaystyle\oint_{C_{i}}\vec{F\cdot{d\vec{r}}}\approx{rot(\vec{F})_i}\cdot{\Delta{A_i}} \). Ahora sumamos la contribucion de cada pequeño cuadrado, formando una malla, que cubre la región R. \( \displaystyle\sum_{i}{\displaystyle\oint_{C_{i}}\vec{F\cdot{d\vec{r}}}}=\displaystyle\oint_{C_{falso}}\vec{F\cdot{d\vec{r}}}\approx\displaystyle\sum_{i}{{rot(\vec{F})_i}\cdot{\Delta{A_i}}} \), donde por \( C_{falso} \), me refiero al contorno de la poligonal, ya que la suma de las integrales de linea de los cuadraditos interiores de la malla equivale a cero, ya que las contribuciones se calcelan con la de los cuadraditos adyacentes.

Ya, pero esto tiene el problema que te comentaba en mi primera respuesta: si no cuantificas las primeras aproximaciones de manera precisa entonces no puedes determinar con precisión la segunda aproximación que es debido a la suma de cuadraditos. No sería una demostración válida pero podría servir de guía para construir una demostración, pero no creo que ése sea el camino adecuado.

Lo común es obtener una aproximación (con cierta precisión) del segundo tipo (como suma de áreas más pequeñitas), quizá utilizando la definición de la integral, pero no desde aproximación de áreas individuales. Luego lo que sigue es más de lo mismo. Por resumir: no encontrarás ninguna demostración matemática que utilice el símbolo \( \approx \) así sin más, porque no dice nada con precisión. Una demostración debe ser muy precisa en lo que está diciendo, pero el significado del símbolo \( \approx \) es de carácter cualitativo, es decir, indica que "es aproximado" pero no especifica la aproximación, y por tanto de tales expresiones no se puede concluir nada concreto.