[mireialili]

Buenas tardes, estoy haciendo un ejercicio de teoria de Galois y me he atascado. El enunciado es este:

Sea \(\alpha\) una raíz compleja del polinomio \(x^6 + 3\). Demostrar que la extensión
\[
\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q}
\]
es una extensión de Galois y que su grupo de Galois es isomorfo a \(D_6\).

He sido capaz de demostrar que es una extension de Galois pero no se como definir los automorfismos del grupo.

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas tardes, estoy haciendo un ejercicio de teoria de Galois y me he atascado. El enunciado es este:

Sea \(\alpha\) una raíz compleja del polinomio \(x^6 + 3\). Demostrar que la extensión
\[
\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q}
\]
es una extensión de Galois y que su grupo de Galois es isomorfo a \(D_6\).

He sido capaz de demostrar que es una extension de Galois pero no se como definir los automorfismos del grupo.

Si llamas \( \zeta \) a la raíz sexta de la unidad, tienes que las raíces de tu polinomio son \( \alpha\cdot \zeta^k \) con  \( k=0,1,2,\ldots,5 \)

Además se tiene que \( \alpha^3=-i\sqrt{3} \) y \( \color{red}\zeta\color{black}=e^{\pi i/3}=1/2+\sqrt{3}/2i=1/2-i\alpha^3/2  \), de donde \( \tau=1/2+\alpha^3/2 \).

Un automorfismo queda determinado fijando la imagen de \( \alpha \) que debe de ser otra raíz de \( x^6+3=0 \).

Considera  \( \sigma_1(\alpha)=\alpha \zeta \) y \( \sigma_2(\alpha)=\alpha \zeta^2 \) y comprueba que general el grupo de Galois con las mismas relaciones que clásicamente definen al grupo diédrico que indicas.

Saludos.

CORREGIDO

[mireialili]

Hola, gracias por la ayuda!

Aun así , me sigue sin cuadrar. El grupo de Galois contiene 6 automorfismos y si es isomorfo a  \(D_6\), no puede ser cíclico. Pero el primer automorfmismo que me propones tiene orden 6 no?

[Masacroso]

Hola, gracias por la ayuda!

Aun así , me sigue sin cuadrar. El grupo de Galois contiene 6 automorfismos y si es isomorfo a  \(D_6\), no puede ser cíclico. Pero el primer automorfmismo que me propones tiene orden 6 no?

Había escrito una respuesta pero la he borrado porque hay varias cosas que no me quedan del todo claras: que la extensión \( \mathbb{Q}(\alpha )/\mathbb{Q} \) sea de Galois, porque dada una raíz \( \alpha \) aún no veo claro que se puedan obtener las otras cinco a partir de eso. Además otra cosa que me trae mosca es que todas las raíces del polinomio \( x^6+3 \) son necesariamente complejas, entonces no le veo mucho sentido a la aclaración de "\( \alpha  \) es una raíz compleja de \( x^6+3 \)".

Suponiendo que la extensión \( \mathbb{Q}(\alpha )/\mathbb{Q} \) sea de Galois entonces contiene el hexágono regular que son las seis raíces de \( x^6+3 \), de ahí se sigue que el grupo de Galois de tal extensión es el grupo diédrico asociado a tal polígono, que es de orden doce, no seis.

A un grupo diédrico asociado a un polígono regular de \( n \) vértices se le suele denominar como \( D_n \) o como \( D_{2n} \) según el libro/temario, aunque en tu caso parece que utilizan la notación \( D_n \). En cualquier caso el orden de tal grupo es el doble de los vértices del polígono. Si \( x \) es la acción de reflejar los puntos del polígono respecto del eje de ordenadas en el plano complejo, e \( y \) es la acción de rotar un ángulo de \( 2\pi/3 \) radianes en dirección de las agujas del reloj de tales vértices del hexágono, entonces (usando la convención \( D_n \), no la \( D_{2n} \)) tendríamos que

\[
D_6=\{x^jy^k: j\in \{0,1\},\,k\{0,\ldots ,5\}\}
\]

Por otra parte un grupo diédrico asociado a un polígono regular de \( n \) vértices deja de ser cíclico cuando \( n>1 \).

Añadido: ok, ya he visto que sí es una extensión de Galois, se sigue del hecho de que \( \alpha ^3=\pm i\sqrt{3} \) y que \( e^{i\pi/3}=\frac1{2}+\frac1{2}i\sqrt{3} \).

Segundo añadido: quizá me haya apresurado al afirmar que el grupo de Galois asociado es el grupo diédrico asociado al polígono de las raíces, tendría que verificarlo con cuidado.

Tercer añadido: el polinomio \( x^2-x+1 \) también se descompone en \( \mathbb{Q}(\alpha) \), eso imposibilita que un automorfismo de \( \mathbb{Q}(\alpha ) \) mapee \( e^{i\pi/3}\mapsto e^{i2\pi/3} \), ya que la primera es una raíz de dicho polinomio y la segunda no. Por tanto el grupo de Galois no puede ser el grupo diédrico asociado al hexágono de las raíces de \( x^6+3 \).

[Luis Fuentes]

Hola

Aun así , me sigue sin cuadrar. El grupo de Galois contiene 6 automorfismos y si es isomorfo a  \(D_6\), no puede ser cíclico. Pero el primer automorfmismo que me propones tiene orden 6 no?

No. Tenía una errata (puse un \( \tau \) en lugar de un \( \zeta \)) que no se si te confundió.

Fíjate que si \( \sigma_1(\alpha)=\alpha\cdot \zeta \) entonces:

\( \sigma_1(\zeta)=\sigma_1\left(\dfrac{1-\alpha^3}{2}\right)=\dfrac{1-\alpha^3\zeta^3}{2}=\dfrac{1+\alpha^3}{2}=\zeta^5 \)

Por tanto:

\( \sigma_1^2(\alpha)=\sigma_1(\alpha\zeta)=\sigma_1(\alpha)\sigma_1(z)=\alpha\zeta\zeta^5=\alpha\zeta^6=\alpha \)

Tiene orden dos.

¿Puedes seguir?.

Saludos.