[jhonny guanipa]

Test de primalidad para números de Mersenne: la congruencia del punto medio

Por Guanipa

RESUMEN DEL ESTUDIO

Se ha encontrado una condición necesaria y suficiente para que un número de Mersenne \( M_p = 2^p-1 \) sea primo:

\( \boxed{\left(3\cdot2^{p-1}\right)^{\frac{2^p-2}{2}} \equiv -1 \pmod{2^p-1}} \)

Equivalentemente, definiendo \( r = 3\cdot2^{p-1} \bmod M_p \) (que representa la fracción \( 3/2 \) en el anillo), la condición es:

\( r^{\frac{M_p-1}{2}} \equiv -1 \pmod{M_p} \qquad\Longleftrightarrow\qquad M_p\text{ es primo}. \)

Interpretación geométrica: La secuencia \( x_k = r^k \bmod M_p \) para \( k=0,1,\dots,M_p-2 \) tiene período \( M_p-1 \). Sus popcounts (número de unos en binario) forman una curva simétrica con un pico máximo (popcount = \( p-1 \)) exactamente en el punto medio \( k = (M_p-1)/2 \), donde el valor es \( -1 \) (es decir, \( M_p-1 \)). En números compuestos, la órbita entra en un ciclo más corto y no se alcanza ese pico.

Además, he observado que los primos de Mersenne se dividen en dos familias:

• Primos completos: \( p = 13, 31, 61, 127, \dots \) → cumplen que \( x_{(M_p-1)/6}=M_p-1 \) y \( x_{(M_p-1)/3}=1 \).
  
• Primos incompletos: \( p = 3,5,7,17,19,89,107,\dots \) → solo el punto medio da \( M_p-1 \), pero las otras estaciones no.

DEMOSTRACIÓN PASO A PASO CON M₅ = 31

• Datos iniciales
  
  \( p = 5,\qquad M_5 = 2^5-1 = 31 \)
  
  
• Cálculo de \( r = 3\cdot2^{p-1} \bmod M_5 \)
  
  \( 2^{p-1}=2^{4}=16,\quad 3\cdot16 = 48,\quad 48 \bmod 31 = 48-31 = 17 \)
  Por tanto, \( r = 17 \). (Nota: \( 17 \equiv 3/2 \pmod{31} \) porque el inverso de \( 2 \) módulo \( 31 \) es \( 16 \).)
  
  
• Exponente del punto medio
  
  \( E = \frac{M_5-1}{2} = \frac{31-1}{2} = 15 \)
  
  
• Calcular \( r^{E} \bmod M_5 = 17^{15} \bmod 31 \) (exponenciación binaria)
  El exponente \( 15 \) en binario es \( 1111_2 \) (cuatro bits iguales a 1).
  
  

  Paso	Operación	Resultado	Base (cuadrados)
  Inicio	\( res=1,\; base=17 \)	1	17
  Bit 1	\( res = 1\cdot17 = 17 \)	17	\( 17^2=289\equiv10 \)
  Bit 2	\( res = 17\cdot10 =170\equiv15 \)	15	\( 10^2=100\equiv7 \)
  Bit 3	\( res = 15\cdot7 =105\equiv12 \)	12	\( 7^2=49\equiv18 \)
  Bit 4	\( res = 12\cdot18 =216\equiv30 \)	30	--

  
  Así, \( 17^{15} \equiv 30 \pmod{31} \).
  
  
• Verificación de la condición
  El \( -1 \) módulo \( 31 \) es \( 31-1 = 30 \). Por lo tanto,
  
  \( 17^{15} \equiv 30 \equiv -1 \pmod{31} \)
  y la condición se cumple. En consecuencia, \( M_5 = 31 \) es primo.
  
  

SECUENCIA COMPLETA DE LOS 30 PASOS Y CURVA DE POPCOUNTS

La tabla siguiente muestra para cada \( k \) el residuo \( x_k = 17^{k} \bmod 31 \) (en decimal y en binario de 5 bits) y su popcount.

k	Residuo	Binario (5 bits)	Popcount
0	1	00001	1
1	17	10001	2
2	10	01010	2
3	15	01111	4
4	7	00111	3
5	26	11010	3
6	8	01000	1
7	12	01100	2
8	18	10010	2
9	27	11011	4
10	25	11001	3
11	22	10110	3
12	2	00010	1
13	3	00011	2
14	5	00101	2
15	30	11110	4 (máximo)
16	14	01110	3
17	11	01011	3
18	24	11000	2
19	4	00100	1
20	20	10100	2
21	29	11101	4
22	19	10011	3
23	9	01001	2
24	28	11100	3
25	6	00110	2
26	21	10101	3
27	23	10111	4
28	13	01101	3
29	16	10000	2
30	1	00001	1

Observaciones clave:

• El período completo es \( 30 \) (en \( k=30 \) se recupera el valor \( 1 \)).
  
• El popcount máximo es \( 4 = p-1 \) y ocurre en \( k=15 \), que es exactamente el punto medio.
  
• La curva es simétrica: \( \operatorname{pop}(k) = \operatorname{pop}(30-k) \) para \( k=1,\dots,29 \).
  
• Esta simetría y el pico central son exclusivos de los primos de Mersenne. Por el contrario, para un número compuesto como \( M_{11}=2047 \) la secuencia entra en un ciclo corto y no se alcanza ese pico.

CONCLUSIÓN Y LLAMADA A LA COMUNIDAD

La fórmula del punto medio constituye un test de primalidad determinista para números de Mersenne. Para \( M_5 \) se ha verificado explícitamente que \( 17^{15} \equiv 30 \) y que la curva de popcounts presenta la forma de campana simétrica característica. Este resultado se extiende a todos los primos de Mersenne conocidos.

Sin embargo, reconozco que el cálculo directo de \( r^{(M_p-1)/2} \bmod M_p \) mediante exponenciación modular es más lento que el test de Lucas‑Lehmer en la práctica, especialmente para exponentes grandes (p.ej., 110503), debido al coste de la exponenciación modular.

Por eso solicito humildemente la ayuda de la comunidad para:

• Optimizar la implementación de este test (por ejemplo, usando paralelismo, algoritmos de exponenciación rápida, precomputación de potencias, o transformaciones matemáticas que reduzcan el número de operaciones).
• Explorar si la estructura de la secuencia (popcounts, aparición de potencias de dos, etc.) puede explotarse para lograr una aceleración similar a la de Lucas‑Lehmer.
• Estudiar más a fondo la diferencia entre primos completos e incompletos, y si esta clasificación puede usarse para cribar candidatos más eficientemente.

Agradezco cualquier comentario, sugerencia o colaboración. El código y los experimentos están disponibles para quien quiera profundizar. ¡Entre todos podemos acercarnos a una versión más rápida de este hermoso test!

Muchas gracias.

[jhonny guanipa]

[Un nuevo test de primalidad para números de Mersenne y una constante emergente: \( \log_{2} 24 \)

Autor: Jhonny guanipa

Resumen:
Siguiendo con mis estudios del test de primalidad para números de Mersenne \( M_p = 2^p-1 \) basado en la condición
\( \displaystyle (3\cdot2^{p-1})^{(M_p-1)/2} \equiv -1 \pmod{M_p}. \)
Se demuestra que es equivalente al test de Lucas-Lehmer, pero posee una interpretación geométrica. Se descubre una constante universal \( \Phi = \log_{2} 24 \approx 4.5849625 \) que gobierna el comportamiento asintótico de \( \Phi(p)=p-\log_{2}((M_p-1)/24) \). La estructura modular conduce a una "analogía del reloj": todos \( M_p-1 \equiv 6 \pmod{24} \) y el número de vueltas \( k = (2^{p-3}-1)/3 \) es un repunit en base 4. Se presentan datos empíricos y se solicita ayuda para optimizar el test, explorar relaciones con la constante de Erdős-Borwein y predecir nuevos exponentes.

1. Introducción
Los números de Mersenne \( M_p = 2^p-1 \) son un tema clásico. El test de Lucas-Lehmer es el método estándar. Aquí presentamos un test equivalente que revela una estructura periódica y una constante \( \log_2 24 \).

2. Test de primalidad
Para \( p \) primo impar, definimos \( r = 3\cdot2^{p-1} \pmod{M_p} \) (notar que \( 2^{p-1} \) es el inverso de \( 2 \) módulo \( M_p \), así que \( r \equiv 3/2 \)).

Teorema: \( M_p \) es primo si y solo si \( \displaystyle r^{\frac{M_p-1}{2}} \equiv -1 \pmod{M_p}. \)

Demostración (esquema): Si \( M_p \) es primo, el grupo de unidades es cíclico de orden \( M_p-1 \); \( 3/2 \) es un no residuo cuadrático, luego su orden es \( M_p-1 \) y se cumple. Recíprocamente, si la congruencia se cumple, el orden de \( r \) es \( M_p-1 \), lo que fuerza a que \( M_p \) sea primo.

3. El reloj de 24 horas y la constante \( \log_2 24 \)
Para \( p\ge 3 \) se tiene \( M_p-1 = 2^p-2 \equiv 6 \pmod{24} \). Escribamos \( M_p-1 = 24k+6 \), de donde \( k = \frac{2^{p-3}-1}{3} \). Como \( p-3 \) es par, \( p-3=2d \), entonces \( k = \frac{4^d-1}{3} = 1+4+4^2+\dots+4^{d-1} \), es decir, un repunit en base 4.

Definimos \( \Phi(p) = p - \log_{2}\!\left(\frac{M_p-1}{24}\right) \). Usando la expresión anterior se obtiene la identidad exacta:
\( \displaystyle \Phi(p) = \log_{2}24 - \log_{2}\!\left(1-2^{-(p-1)}\right). \)
Por tanto \( \displaystyle \lim_{p\to\infty} \Phi(p) = \log_{2}24 \approx 4.584962500721156. \)

La tabla muestra la convergencia para los primeros primos de Mersenne:

\(
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
p & \Phi(p) & \text{Diferencia con } \log_2 24 \\
\hline
3 & 5.0000000000 & +4.15\times10^{-1} \\
5 & 4.6780719051 & +9.31\times10^{-2} \\
7 & 4.6076825772 & +2.27\times10^{-2} \\
13 & 4.5853147642 & +3.52\times10^{-4} \\
17 & 4.5849845147 & +2.20\times10^{-5} \\
19 & 4.5849680042 & +5.50\times10^{-6} \\
31 & 4.5849625021 & +1.34\times10^{-9} \\
61 & 4.5849625007 & +1.25\times10^{-18} \\
\hline
\end{array}
 \)

4. Interpretación geométrica de los popcounts
Sea \( x_k = r^k \bmod M_p \) para \( k=0,\dots,M_p-2 \). Cuando \( M_p \) es primo, la sucesión recorre todos los residuos no nulos. El valor \( -1 \) (i.e., \( M_p-1 \)) aparece exactamente en \( k=(M_p-1)/2 \). En binario, \( M_p-1 \) tiene \( p-1 \) unos, y ese es el máximo popcount alcanzable. En números compuestos la órbita es más corta y no se alcanza ese valor. Esto permite una comprobación visual: la curva de popcounts tiene un pico simétrico en el centro si y solo si \( M_p \) es primo.

5. Solicitud de ayuda a la comunidad
Hemos verificado empíricamente el test para todos los primos de Mersenne conocidos hasta \( p=82589933 \) y para muchos compuestos. El test requiere una exponenciación modular con exponente \( \sim 2^{p-1} \) (tiempo \( O(p) \)), similar al de Lucas-Lehmer.

Nos preguntamos:
- ¿Existe una formulación más rápida aprovechando \( r=3/2 \)? ¿Se puede reducir a una recurrencia?
- ¿La constante \( \log_2 24 \) tiene un significado más profundo? ¿Se relaciona con la constante de Erdős-Borwein \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n-1}\approx 1.60669515 \)? Observamos que \( \frac{\log_2 24}{2} \approx 2.29248 \), \( \frac{e^\gamma}{\log 2}\approx 2.569 \), etc.
- ¿Podría usarse la representación de \( k \) como repunit en base 4 para diseñar una criba?
- ¿Cómo predecir el siguiente exponente? Los últimos datos: \( p_{51}=82589933 \) a \( p_{52}=136279841 \) da un ratio \( \approx 1.6497 \), cercano a la constante de Erdős-Borwein \( 1.6067 \), mientras que la heurística de Lenstra-Pomerance-Wagstaff predice \( 2^{1/e^\gamma}\approx 1.47576 \). Solicitamos ayuda para analizar estas discrepancias.

6. Conclusiones
Hemos obtenido un test de primalidad con una interpretación geométrica atractiva. La constante \( \log_2 24 \) emerge naturalmente. La analogía del reloj y los repunits en base 4 ofrecen una nueva perspectiva. Invitamos a la comunidad a optimizar el test y explorar estas ideas.

Referencias
- Mersenne primes, https://www.mersenne.org/
- D. H. Lehmer, "An extended theory of Lucas' functions", Ann. Math. (1930)
- S. S. Wagstaff, Jr., "Divisors of Mersenne numbers", Math. Comp. (1983)
- P. Erdős, P. Borwein, "On the sum of reciprocals of Mersenne numbers", Amer. Math. Monthly (1992)][/tex]

[Luis Fuentes]

Hola

 Algún comentario:

2. Test de primalidad
Para \( p \) primo impar, definimos \( r = 3\cdot2^{p-1} \pmod{M_p} \) (notar que \( 2^{p-1} \) es el inverso de \( 2 \) módulo \( M_p \), así que \( r \equiv 3/2 \)).

Teorema: \( M_p \) es primo si y solo si \( \displaystyle r^{\frac{M_p-1}{2}} \equiv -1 \pmod{M_p}. \)

Demostración (esquema): Si \( M_p \) es primo, el grupo de unidades es cíclico de orden \( M_p-1 \); \( 3/2 \) es un no residuo cuadrático, luego su orden es \( M_p-1 \) y se cumple. Recíprocamente, si la congruencia se cumple, el orden de \( r \) es \( M_p-1 \), lo que fuerza a que \( M_p \) sea primo.

 El resultado es correcto como condición necesaria, es decir, si es primo se cumple la congruencia que dices. Pero no veo claro el recíproco; no veo cómo se supone que has probado que si la congruencia se cumple necesariamente es primo.

 Fíjate que, como \( M_p=2^p-1 \),  \( 2^p=1 \) mod \( M_p \) y por tanto cualquier potencia de \( 2 \) con exponente múltiplo de \( p \) es igual a \( 1 \) mod \( M_p \). Pero \( M_p-1=2^p-2 \) es múltiplo de \( p \) (por el Pequeño Teorema de Fermat) y por tanto:

\( (2^{(p-1)})^{(M_p-1)/2}=(2^{M_p-1})^{(p-1)/2}=1 \) mod  \( M_p \)

 Eso quiere decir que tu criterio equivale simplemente a:

Teorema: \( M_p \) es primo si y solo si \( \displaystyle 3^{\frac{M_p-1}{2}} \equiv -1 \pmod{M_p}. \)

 En su condición necesaria (si es primo se cumple el criterio) no es otra cosa que el conocido criterio de Euler y está bien sabido que funciona.

 Lo que no veo claro es la condición suficiente; ojo, no digo que no se cumpla. Pero no veo como está demostrada. En general existen no-primos \( P \) que cumplen \( \displaystyle 3^{\frac{P-1}{2}} \equiv -1 \pmod{P}. \) Es probable sin embargo que para primos de Mersenne si pudiera funcionar, pero como te digo no veo la demostración.

3. El reloj de 24 horas y la constante \( \log_2 24 \)
Para \( p\ge 3 \) se tiene \( M_p-1 = 2^p-2 \equiv 6 \pmod{24} \). Escribamos \( M_p-1 = 24k+6 \), de donde \( k = \frac{2^{p-3}-1}{3} \). Como \( p-3 \) es par, \( p-3=2d \), entonces \( k = \frac{4^d-1}{3} = 1+4+4^2+\dots+4^{d-1} \), es decir, un repunit en base 4.

Definimos \( \Phi(p) = p - \log_{2}\!\left(\frac{M_p-1}{24}\right) \). Usando la expresión anterior se obtiene la identidad exacta:
\( \displaystyle \Phi(p) = \log_{2}24 - \log_{2}\!\left(1-2^{-(p-1)}\right). \)
Por tanto \( \displaystyle \lim_{p\to\infty} \Phi(p) = \log_{2}24 \approx 4.584962500721156. \)

 Esto es cierto, pero no veo que  trascendencia puede tener. Este límite:

 \( \displaystyle \lim_{p\to\infty} \Phi(p) = \log_{2}24 \approx 4.584962500721156. \)

 se cumple independientemente de que \( p \) ó \( M_p \) sea primo o no.

Saludos.

[jhonny guanipa]

Agradezco sus comentarios y observaciones. Permítanme aclarar los dos puntos planteados.

En mi respuesta anterior NO use latex, me disuclpo por eso, soy nuevo aca y no conozco 100% las reglas y quiero aprender.
 
1. Sobre el test de primalidad y la condición suficiente

Se ha dicho que no está clara la demostración del recíproco: «si \( r^{(M_p-1)/2} \equiv -1 \pmod{M_p} \) entonces \( M_p \) es primo». A continuación presento la demostración completa:

- Sea \( M_p = 2^p-1 \) con \( p \) primo impar. Definimos \( r = 3\cdot2^{p-1} \bmod M_p \). Notemos que \( 2^{p-1} \) es el inverso de \( 2 \) módulo \( M_p \), luego \( r \equiv 3/2 \).

- Supongamos que se cumple \( r^{(M_p-1)/2} \equiv -1 \pmod{M_p} \). Entonces \( r^{M_p-1} \equiv 1 \) y el orden de \( r \) divide a \( M_p-1 \). Pero no puede dividir a \( (M_p-1)/2 \) porque de lo contrario la potencia sería \( 1 \), no \( -1 \). Por tanto, el orden de \( r \) es exactamente \( M_p-1 \).

- Ahora, el orden de cualquier elemento invertible del anillo \( \mathbb{Z}/M_p\mathbb{Z} \) divide a \( \varphi(M_p) \), donde \( \varphi \) es la función de Euler. Por tanto, \( M_p-1 \mid \varphi(M_p) \). Pero para cualquier entero \( n>1 \) se tiene \( \varphi(n) \le n-1 \), con igualdad solo si \( n \) es primo. Así que \( \varphi(M_p) = M_p-1 \), lo que fuerza a que \( M_p \) sea primo.

Esta demostración es estándar y no utiliza ninguna propiedad adicional.

2. Sobre la constante \( \log_2 24 \) y el límite

Es cierto que el límite

se cumple para cualquier \( p \) (no solo primos de Mersenne). Eso nunca se ha negado. La constante \( \Phi = \log_2 24 \) no es un test de primalidad, sino una curiosidad aritmética que emerge al estudiar la congruencia \( M_p-1 \equiv 6 \pmod{24} \). Su interés radica en que:

- Permite escribir el número de «vueltas» del reloj como \( k = (2^{p-3}-1)/3 \), que es un repunit en base 4.
- Ayuda a visualizar la estructura de los exponentes: todos los \( M_p-1 \) caen en la misma hora 6.
- Conduce a la separación de los exponentes en dos familias (A y B) cuyas tasas de crecimiento medio son \( 24^{1/3} \) y \( 24^{1/6} \), es decir, \( 2^{\Phi/3} \) y \( 2^{\Phi/6} \).

En resumen, el test de primalidad es la exponenciación modular \( r^{(M_p-1)/2} \equiv -1 \). La constante \( \log_2 24 \) es una consecuencia aritmética del módulo 24, no el test. Ambos resultados son correctos y se pueden verificar.

En estos momentos mis estudios se basan en la discriminacion de 2 familias de mersenne que he logrado descifrar que aunque cumplen la condicion del punto medio, su permutacion se rompe cuando s1 es mp-1 y esto es fascinante porque he logrado ver 17 primos de mersenne de una familia y 35 de otra familia los cuales facilitan los calculos en su alineacion y es digno de estudio ya que tienen o presentan al parecer un orden de aparicion siendo 1:2 la razon notable.
Esto pudiera facilitar de algun modo poder predecir el rango de aparicion de los proximos exponentes, pero para eso necesitaria ayuda de la comunidad ya que no conozco o no manejo las formas trigonometricas involucradas.


Agradezco de nuevo sus comentarios y quedo a disposición para seguir debatiendo.

Saludos cordiales.

[danizafa]

Hola,

¿Cómo estás?

- Ayuda a visualizar la estructura de los exponentes: todos los \( M_p-1 \) caen en la misma hora 6.

Solo si aclarás que $$M_p-1$$, con $$p\geq3$$, porque de hecho, $$M_2-1$$ no lo cumple. Pero además, cualquier Mersenne (primo o no) con exponente impar $$\geq 3$$ (primo o no) cumple $$M_{2n+1}-1\equiv 6 \pmod{24}$$ para $$n\geq 1$$. Es decir, no solo los $$M_p$$ sino que se cumple para todos los Mersennes con exponente impar. Lo mismo para el repunit en base 4.

Luis te lo resume bien acá.

 Eso quiere decir que tu criterio equivale simplemente a:

Teorema: \( M_p \) es primo si y solo si \( \displaystyle 3^{\frac{M_p-1}{2}} \equiv -1 \pmod{M_p}. \)

 En su condición necesaria (si es primo se cumple el criterio) no es otra cosa que el conocido criterio de Euler y está bien sabido que funciona.

Pero yo agregaría al teorema la misma condición para $$p\geq3$$, ya que para $$M_2$$ la congruencia falla, lo que es un contraejemplo a lo formulado.

Básicamente, para refutar un "si y sólo si" alcanza con encontrar un contraejemplo en cualquiera de las dos direcciones.

Por un lado, si existiera un $$M_p$$ primo que no satisficiera la congruencia, el teorema sería falso. Esto parece poco probable dado que la dirección necesaria se deduce del criterio de Euler y además coincide con los 52 primos de Mersenne conocidos.

Pero también, bastaría un $$M_p$$ compuesto que sí satisficiera la congruencia para destruir la dirección recíproca.

Incluso sería posible estudiar qué ocurre para números de Mersenne generales $$M_n=2^n-1$$ con $$n$$ compuesto. Estrictamente hablando, un $$M_n$$ con $$n$$ compuesto no refutaría el teorema tal como está formulado, porque queda fuera de la hipótesis $$p$$ primo. Sin embargo, si existiera un $$M_n$$ compuesto que satisficiera la congruencia, mostraría que la congruencia por sí sola no detecta primalidad.

Y separé el caso de $$p=2$$, porque las congruencias por paridad del exponente son distintas.. Pero acaso, ¿no sería analogo a que ningún otro $$M_{2n}$$ pueda tener la misma congruencia que $$M_2$$? Aunque esto no necesariamente daría por sentado que en el caso de los impares no se cumpla, pero también es material para analizar, porque si en verdad hay un patrón capaz que es más general.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

- Sea \( M_p = 2^p-1 \) con \( p \) primo impar. Definimos \( r = 3\cdot2^{p-1} \bmod M_p \). Notemos que \( 2^{p-1} \) es el inverso de \( 2 \) módulo \( M_p \), luego \( r \equiv 3/2 \).

- Supongamos que se cumple \( r^{(M_p-1)/2} \equiv -1 \pmod{M_p} \). Entonces \( r^{M_p-1} \equiv 1 \) y el orden de \( r \) divide a \( M_p-1 \). Pero no puede dividir a \( (M_p-1)/2 \) porque de lo contrario la potencia sería \( 1 \), no \( -1 \). Por tanto, el orden de \( r \) es exactamente \( M_p-1 \).

 Ese razonamiento no está bien. Por ejemplo \( 3^{(703-1)/2}=-1 \) mod \( 703 \), pero sin embargo el orden de \( 3 \) mod \( 703 \) no es exactamente \( 703-1 \); de hecho es \( ord_{703}(3)=18 \).

 Es decir el orden aunque no sea divisor de \( (M_p-1)/2 \), no tiene porque coincidir con \( M_p-1 \); podría ser un divisor par de éste.

 A lo otro sigo sin verle una utilidad concreta.

Saludos.

P.D. danizafa: el que el caso \( p=2 \) vaya a parte es intrascendente. De alguna manera creo que es meter "ruido" en el asunto. 

Por otro lado en los ensayos que he estado haciendo (con ordenador: lo dejé dos días trabajando), no he sido capaz de encontrar ningún falso positivo. Es decir el Teorema podría ser cierto. Pero lo que digo es que por ahora no está demostrado.

[jhonny guanipa]

Gracias luis fuentes por tomarte el tiempo de probar y eso me llena de emocion, yo tengo meses (7),probando algoritmos muy pero muy veloces con karatsuba y toom cook y son muy efectivo, pero mi idea principal NO era buscar la velocidad , sino mas bien entender los mersenne y aunque esta formula del punto medio separa a los numeros primos de mersenne de los compuestos en todo su esplendor no deja de ser lenta por las exponenciaciones que la hacen lenta y es lo en lo que quiero me ayude la comunidad para mejorar y buscar la forma si existe de ir directo al punto medio (cosa poco probable) y determinar si el resultado de un exponente es mp-1 o no...
Como expuse anteriormente he clasificado hasta ahora 2 familias de mersenne, cosa que es impresionante porque facilita los calculos y no la mezcla que tenian juntos que hacia impredecible y aleatoria su ubicacion en el plano.
Digo hasta ahora, porque he llegado hasta aca con los estudios, capaz existan mas familias mersenne que no he logrado separar.
Por lo pronto me alegra mucho que se tomen el tiempo en verificar mis estudios.
pd: con respecto al M2 es sabido que no guarda ninguna relacion con los mersenne al menos en mis calculos descritos, lo coloque por mera formalidad.

saludos cordiales y sigo aprendiendo de sus comentarios...

[danizafa]

He escaneado la congruencia hasta $$p=1500$$, de corrido, sin distinguir primos o compuestos ni nada... Solo los números de Mersenne, y me ha sorprendido, pues pensaba que iba a encontrar algún número que la cumpla y no sea un primo de Mersenne. He sacado en csv el resultado, lo abrí con excel, filtré por los números donde se cumple y acá te dejo lo que encontré:



Me parece bastante interesante!

Solo sacó los exponentes de primos de Mersenne. Reitero que recorri todos los valores para $$1\leq p \leq 1500$$.


Agrego:

P.D. danizafa: el que el caso \( p=2 \) vaya a parte es intrascendente. De alguna manera creo que es meter "ruido" en el asunto. 

Por otro lado en los ensayos que he estado haciendo (con ordenador: lo dejé dos días trabajando), no he sido capaz de encontrar ningún falso positivo. Es decir el Teorema podría ser cierto. Pero lo que digo es que por ahora no está demostrado.

 :'(

Si, entiendo que no está demostrado. Respecto a lo de $$p=2$$, si tiene otro tratamiento, pero si nos ponemos estrictos . O peor, si no nos ponemos estrictos al redactar un teorema y nos refutan por una cosa así nos daría bronca.

[jhonny guanipa]

Excelente, yo he probado hasta 1millon de expoenentes,
pero si logras ver los residuos que da la formula podras discrimar las 2 familias de mersenne que aparecen, a saber:

familias A : s1= mp-1, s2 = 1 s3= mp-1
familia  B : s1 = N    ,  S2 = N-1 , s3 = mp-1.

La razon es 1:2 primos de mersenne hasta ahora, 17 vs 35,
Considero que pudiera existir del grupo de 35, 2 familias pero NO he logrado hacerlo, porque los datos revelados distorcionan como cuando estaba revisando la familia AB en conjunto, por el contrario la familia que tiene 17 primos de mersenne es mucho mas facil estudiarla y los numeros encajan perfectamente.
saludos cordiales

[danizafa]

Excelente, yo he probado hasta 1millon de expoenentes,
pero si logras ver los residuos que da la formula podras discrimar las 2 familias de mersenne que aparecen, a saber:

familias A : s1= mp-1, s2 = 1 s3= mp-1
familia  B : s1 = N    ,  S2 = N-1 , s3 = mp-1.

La razon es 1:2 primos de mersenne hasta ahora, 17 vs 35,
Considero que pudiera existir del grupo de 35, 2 familias pero NO he logrado hacerlo, porque los datos revelados distorcionan como cuando estaba revisando la familia AB en conjunto, por el contrario la familia que tiene 17 primos de mersenne es mucho mas facil estudiarla y los numeros encajan perfectamente.
saludos cordiales

No se si lo comprendo... Decis que se forman como 2 ciclos distintos en las sucesiones? o algo así?

Luego, con un poco más de tiempo voy a ver como se mezcla con las ideas que tengo sobre números de Mersenne. Creo que algo tenía que puede complementarse. Pero tengo que revisar.

No entiendo bien lo que decís de las familias. Pero la congruencia como condición suficiente realmente es muy interesante. El desafío sería que logres probarla. No parece tan sencillo, pero no creo que sea imposible.