[Carlos Oyarzo]

Buenas:

Demuestre que \( 6 \mid n(n+1)(2n+1) \).

Saludos.

[Richard R Richard]

Buenas:

Demuestre que \( 6 \mid n(n+1)(2n+1) \).

Saludos.

Como $$n(n+1)(2n+1)$$ es el producto de tres números $$n, n+1$$ y $$2n+1$$ , dos de ellos son consecutivos, entonces si $$n$$ es impar entonces $$n+1$$ es par y viceversa, y su producto    resulta de un par por un impar  que es siempre par , así que ya sabes que de esos dos el producto es divisible por $$2$$.


Y si $$n\equiv 0 \mod 3$$ listo , tambien $$n$$ es divisible por $$3$$ por lo tanto todo el producto será divisible por 3, lo mismo
si $$n\equiv 2 \mod 3$$ entonces  $$n+1\equiv 0 \mod 3$$ es divisible por $$3$$,
y si $$n\equiv 1 \mod 3$$ entonces $$2n\equiv 2 \mod 3$$ y al sumarle $$1$$ resulta que  $$2n+1\equiv 0 \mod 3$$, así que es divisible por $$3$$.


No hay mas posibilidades, así que el producto $$n(n+1)(2n+1)$$  es divisible por $$2$$ y por $$3$$ a la vez, que es lo mismo que sea divisible por $$6$$ , cqd.

[ani_pascual]

Hola:

Buenas:

Demuestre que \( 6 \mid n(n+1)(2n+1) \).

Saludos.

Otra forma, por inducción sobre \( n  \):
Si \( n=1 \) es claro pues \( 6|(1\cdot 2\cdot 3) \).
Suponiendo que la propiedad es cierta para \( n  \), se tiene que
\( (n+1)(n+2)(2n+3)=(n+1)(n+2)(2n+1)+2(n+1)(n+2)=\\n(n+1)(2n+1)+2(n+1)(2n+1)+2(n+1)(n+2)=\\6\cdot q+2(n+1)[2n+1+n+2]=6\cdot q+6(n+1)^2=6p \) con \( q,p \) naturales, luego se cumple la propiedad para \( n+1 \) y así, para todo \( n\in\mathbb{N} \).
Saludos

[feriva]

Buenas:

Demuestre que \( 6 \mid n(n+1)(2n+1) \).

Otra manera de ver lo mismo.

Es trivial que es par, luego hay que mirar si es múltiplo de 3.

Si desarrollas, tienes $$2n^{3}+3n^{2}+n$$, luego es múltiplo de “n”

Si $$n=3k+1$$, el resto módulo 3 es 2+3+1=6. Luego es múltiplo de 3.

Si $$3k+2$$, el resto módulo 3 es 16+12+2=30. Luego es múltiplo de 3.

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

\( n \cdot (n+1) \cdot (2n+1) = n \cdot (n+1) \cdot ((n+2) + (n-1)) = (n-1) \cdot n \cdot (n+1) + n \cdot (n+1) \cdot (n+2)  \)

[Carlos Oyarzo]

\( n \cdot (n+1) \cdot (2n+1) = n \cdot (n+1) \cdot ((n+2) + (n-1)) = (n-1) \cdot n \cdot (n+1) + n \cdot (n+1) \cdot (n+2)  \)

Buenísimo, presentía que había una demostración más corta.

Salu2