[pilar12]

Determine el área de la región acotada por el plano limitado inferiormente por la parábola \( y=9x-x^2 \) y superiormente por las rectas  tangentes a eso parábola en los puntos de corte con los ejes.
Se como hacerlo, pero no consigo visualizarlo.
Gracias de antemano por vuestras respuestas.

[Pie]

Determine el área de la región acotada por el plano limitado inferiormente por la parábola \( y=9x-x^2 \) y superiormente por las rectas  tangentes a eso parábola en los puntos de corte con los ejes.
Se como hacerlo, pero no consigo visualizarlo.
Gracias de antemano por vuestras respuestas.

Un dibujo..



Se trataría de calcular el área del triángulo \( \triangle{ABC} \) y restar el area bajo la curva (en el intervalo \( AB \)). Si no entendi mal..

Dejo lo que me sale en spoiler..

Spoiler

Los puntos de corte con los ejes son:

\( A = (0,0), B=(9,0) \)

La derivada de \( y \) es:

\( y' = - 2x + 9 \)

Las pendientes de las rectas tangentes a la curva en esos puntos son: \( y'(0) = 9, y'(9)=-9 \)

\( C \) es la intersección de las rectas tangentes:

\[ 9x = - 9x + 81\Longrightarrow{} 18x = 81 \Longrightarrow x = \displaystyle\frac{9}{2} \Longrightarrow{}y = \displaystyle\frac{81}{2} \Longrightarrow{} \]

\( C = (9/2,81/2) \)

Asi la altura del triángulo \( \triangle{ABC} \) es \( h = 81/2 \), y el área:

\[ \displaystyle\frac{9\cdot 81/2}{2} = \displaystyle\frac{729}{4} \ u^2 \]

El área bajo la curva es:

\[ \displaystyle\int_{0}^{9} - x^2 +9x \ dx = \left | -\displaystyle\frac{x^3}{3}+\displaystyle\frac{9x^2}{2}\right|_0^9 =\frac{243}{2} | u^2 \]

Y el área pedida es:

\[ \displaystyle\frac{729}{4} - \frac{243}{2} = \boxed{\displaystyle\frac{243}{4} \ u^2}  \]

[cerrar]

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

...
Gracias de antemano por vuestras respuestas.

Otra forma, usando la simetría ...

Spoiler

\( A=2\displaystyle\int_0^{\frac{9}{2}}9x-(9x-x^2)\,dx=\\2\displaystyle\int_0^{\frac{9}{2}}x^2\,dx=\left.\dfrac{2x^3}{3}\right|_0^{\frac{9}{2}}=\boxed{\dfrac{243}{4}\,u^2}  \)

[cerrar]

Saludos

[pilar12]

Muchas gracias; es exactamente lo que quería.