[RH]

Aquí les dejo una conjetura en pdf. He preferido separarlo del hilo "Vacío estructural...", que doy por terminado.

La conjetura tiene dos niveles de dificultad.

La primera parte, demostrar que los ceros encontrados existen siempre, parece difícil pero alcanzable. Es decir, probar que en ciertas clases de primos la caminata de Legendre se anula exactamente en los puntos decimales observados. Esta parte parece conectada con identidades conocidas de sumas de caracteres y números de clase, así que probablemente puede convertirse en una demostración formal.

La segunda parte, demostrar que no existen más ceros universales, es bastante más difícil. Ahí ya no basta con explicar los ceros encontrados: habría que descartar todos los demás racionales posibles. Esa es la parte realmente profunda y la más parecida a una hipótesis de localización de ceros.

Si se demostrara la primera parte, tendríamos un resultado nuevo e interesante: una familia completa de primos donde ciertos puntos racionales producen equilibrio perfecto entre residuos y no-residuos cuadráticos.

Si se demostrara la segunda parte, el impacto sería mayor: se tendría una clasificación completa de los ceros universales en ese sistema. Eso significaría que esos ceros no aparecen al azar, sino que están confinados a una estructura rígida, lo que hemos llamado cristales racionales.

La implicación conceptual es que las cancelaciones exactas de la caminata de Legendre estarían gobernadas por una geometría aritmética oculta, relacionada con caracteres cuadráticos y números de clase.

En resumen: demostrar los ceros decimales sería un buen teorema; demostrar que no hay más sería una teoría completa de localización de ceros universales.

[RH]

Continuación:

Segunda parte. Fácil de leer, visual. ¿Un posible nuevo campo teórico? 

Agradecería una orientación o evaluación honesta humana. 

[anartesi]

¡Hola! Honesta puedo ser. Por lo poco que he leído al respecto, la investigación matemática debería ser diferente. Si pensamos por ejemplo que lo babilonios ya hacían cálculos usando el teorema de Pitágoras, y hasta su supuesta formalización pasó un tiempito. Y si también pensamos en la formalización del concepto de límite que llevó al menos un siglo y medio de disputa… yo creería que los avances en matemática o son resultado del esfuerzo colectivo, como dice Sáenz de Cabezón, o son algo parecido a la síntesis a priori de Kant…o una manifestación más del inconsciente humano. Una conjetura me hablaría a mí de alguien que conoce mucho sobre lo que habla…alguien que comprende pero no tiene aún una forma de probar aquello que “intuye”, si alguien quiere llamarlo así.

No creo que la IA te ayude a buscar algo que no sabes o intuís.
(simple lectora). Saludos

[RH]

Hola anartesi, yo sólo soy un explorador, un curioso. No pretendo descubrir nada nuevo o extravagante (me gustaría, eso sí) y menos entender a nivel avanzado esto. Simplemente es como si usara unos prismáticos y me acercara levemente a una montaña elevada, sin correr riesgos, pero sin clasificar esa montaña o ser montañista.

Entonces es cierto que la IA usa técnicas complicadas, pero eso no me impide analizar el fenómeno en cuestión, ver si hay algún patrón o algo llamativo.

Y ahora, a mi parecer, se va cambiando de paradigma, la IA tiene mucho potencial.

Pero ese no es el tema del hilo...

Hasta luego, buen día.

[RH]

Geometría compleja local:  ¿Qué ocurre con los complejos?

https://chatgpt.com/s/t_6a0987f390508191886fbfb4abaf1f8f

La idea es simple:

Una celda donde la suma real se cancela parece “vacía” en la caminata real. Pero al mirarla en la caminata compleja, esa cancelación deja una forma: una dirección, una curvatura y correcciones sucesivas.

Eso implica que los ceros/nodos reales no son puntos muertos: esconden geometría compleja local.

Es útil porque convierte una igualdad real, como “aquí la suma vuelve al mismo valor”, en algo medible y clasificable. Permite distinguir celdas limpias, amplificadas, primitivas o más curvadas, y da una fórmula ordenada para aproximarlas mediante momentos M1, M2, M3, ….

En resumen:
los nodos reales crean el esqueleto; los momentos complejos describen la forma oculta alrededor de ese esqueleto.

[Richard R Richard]

Hola, como va, he intentado ver de que va la conjetura  y no me entero, tampoco creo sea necesario  recurrir a Google o una IA ,para que la defina, si para eso tenemos el hilo. (Quizá el origen del tema sea básico para un matemático , pero no para un ingeniero como es mi caso)


Aver , que "prefiero" ver en los hilos  las cosas enunciadas a simple vista ,no encontrarlas ,si las encuentro en un pdf..
Es más me interesa y solo me interesa saber tu posición  respecto  de la posible veracidad o falsedad de la conjetura que enuncies y no lo que opina la IA.
Es más me interesa saber tu posición respecto  de lo que diga la IA, pero no lo que dice la IA.
Para saber lo que dice la IA, cualquiera puede recurrir a ella.
De tus temas de investigación me interesan tus planteos y tus conclusiones  no el enunciados en sí,pero quiero enterarme del enunciado de forma clara y concisa.


Y por otro lado por desconocimiento quizás, no me cierra algo, hablas de primos 3 mod4 al inicio luego de la clase 40 o mod 40, que entiendo asi defines a los primos hasta el 40,solo eso..., pues dime si el 41 y el 241  son primos 1mod 40 , entonces porque el 1 y el resto de los impares no esta en tu clase, si bien el numero 1 no es primo  no entiendo porque usas la palabra "modulo" , cuando solo son los primos menores a 40 o de tal o cual valor.


Que no me entero  también es en que se beneficia  el mundo si es cierta o falsa, es argumento para falsar o corroborar otra conjetura? Relacionado a que está , y por que crees y que cosa es un tema de debate en el foro.

Pd hoy es domingo, y tuve tiempo para ver que es un residuo cuadrático, simbolo de Legendre y el de Jacobi, y jugando con la IA ver que relaciones hay con la teoría de números , la  simulación de aleatoriedad, y la hipótesis de Riemman si por ahí fueran los tiros .
Así que sigo sin ver  un enunciado claro y directo  que diga algo como : "si pasa esto entonces  lo otro..." y haya hago que probar o refutar en medio.

[RH]

Hola Richard, estoy de acuerdo.

La IA va tres pasos por delante mío, pero la he pedido que lo detalle, el cálculo, para el primo 43, p=43.

Copio el enlace, porque está muy detallado: Es un ejemplo claro de como funciona esto. Yo creo que se puede entender bien.

Modificado, los links no funcionan.

Entonces, yo lo situaría en un campo nuevo o mixto, una estructura numérica, el tema es que salen racionales, y eso está bien, también exactos, también cosas nuevas que se pueden investigar... Hay chicha desde mi punto de vista.

En el esqueleto se abarca más la estructura, porque indagué más.

Luego toqué un poco con complejos, en la siguiente parte.

A mí me parece muy bonito según he estado observando, con la IA y el cálculo en Matlab, he puesto lo más interesante que he encontrado. Se puede parecer a Riemann aunque parece que Riemann es más global en los primos y esto más local en sus estructuras.

Por ahora, te contesto esto, luego ya me dices y sigo.

Saludos.

[anartesi]

Hola anartesi, yo sólo soy un explorador, un curioso. No pretendo descubrir nada nuevo o extravagante (me gustaría, eso sí) y menos entender a nivel avanzado esto. Simplemente es como si usara unos prismáticos y me acercara levemente a una montaña elevada, sin correr riesgos, pero sin clasificar esa montaña o ser montañista.

Entonces es cierto que la IA usa técnicas complicadas, pero eso no me impide analizar el fenómeno en cuestión, ver si hay algún patrón o algo llamativo.

Y ahora, a mi parecer, se va cambiando de paradigma, la IA tiene mucho potencial.

Pero ese no es el tema del hilo...

Hasta luego, buen día.

Gracias por la respuesta, me es complicado entender este proceso con la IA.

[RH]

Hola, entonces también lo pongo aquí, en texto, para que se entienda, sin necesidad de pdfs o links.

Ejemplo de cálculo real en tres primos distintos:

Spoiler

Usaremos la caminata real de Legendre:

\(
S_p(t)=\sum_{1\le n\le tp}\left(\frac np\right)
 \) donde: \(
\left(\frac np\right)=+1
 \)

si \( n \) es residuo cuadrático módulo \( p \), y:

\(
\left(\frac np\right)=-1
 \)

si \( n \) no es residuo cuadrático módulo \( p \).

Ejemplo 1: \( p=23 \)

Tomamos la rama: \(
\frac16\to\frac14\to\frac13.
 \) Para \( p=23 \):  \(
\left(\frac 2{23}\right)=+1,
\qquad
\left(\frac 3{23}\right)=+1,
\qquad
\left(\frac 5{23}\right)=-1.
 \) Los cortes son: \(
\left\lfloor \frac{23}{6}\right\rfloor=3,
 \) \(
\left\lfloor \frac{23}{4}\right\rfloor=5,
 \) \(
\left\lfloor \frac{23}{3}\right\rfloor=7.
 \) Calculamos los signos:

+1+1+1+1-1+1-1

Entonces: \(
S_{23}\left(\frac16\right)

1+1+1=3.
 \) También: \(
S_{23}\left(\frac14\right)

1+1+1+1-1=3.
 \) Y: \(
S_{23}\left(\frac13\right)

1+1+1+1-1+1-1=3.
 \) Por tanto: \(
\boxed{
S_{23}\left(\frac16\right)
S_{23}\left(\frac14\right)
S_{23}\left(\frac13\right)

}
 \) Las celdas son: \(
B=\left(\frac16,\frac14\right]
\quad\Longleftrightarrow\quad
n=4,5.
 \) \(
C=\left(\frac14,\frac13\right]
\quad\Longleftrightarrow\quad
n=6,7.
 \) La suma en \( B \) es: \(  +1-1=0.
 \)

La suma en \( C \) es:

\(
+1-1=0.
 \)

Así que:

\(
\boxed{
B \text{ y } C \text{ son celdas nodales reales.}
}
 \)

Ejemplo 2: \( p=43 \)

Tomamos la rama:

\(
\frac1{10}\to\frac14\to\frac3{10}.
 \)

Para \( p=43 \):

\(
\left(\frac 2{43}\right)=-1,
\qquad
\left(\frac 3{43}\right)=-1,
\qquad
\left(\frac 5{43}\right)=-1.
 \)

Los cortes son:

\(
\left\lfloor \frac{43}{10}\right\rfloor=4,
 \)

\(
\left\lfloor \frac{43}{4}\right\rfloor=10,
 \)

\(
\left\lfloor \frac{3\cdot43}{10}\right\rfloor=12.
 \)

Los signos son:

+1-1-1+1-1+1-1-1+1+1+1-1

Entonces:

\(
S_{43}\left(\frac1{10}\right)

1-1-1+1=0.
 \)

También:

\(
S_{43}\left(\frac14\right)

1-1-1+1-1+1-1-1+1+1=0.
 \)

Y:

\(
S_{43}\left(\frac3{10}\right)

0+1-1=0.
 \)

Por tanto:

\(
\boxed{
S_{43}\left(\frac1{10}\right)
S_{43}\left(\frac14\right)
S_{43}\left(\frac3{10}\right)

}
 \)

Las celdas son:

\(
B=\left(\frac1{10},\frac14\right]
\quad\Longleftrightarrow\quad
n=5,6,7,8,9,10.
 \)

\(
C=\left(\frac14,\frac3{10}\right]
\quad\Longleftrightarrow\quad
n=11,12.
 \)

La suma en \( B \) es:

\(
-1+1-1-1+1+1=0.
 \)

La suma en \( C \) es:

\(
+1-1=0.
 \)

Así que:

\(
\boxed{
B \text{ y } C \text{ son celdas de masa real cero.}
}
 \)

Ejemplo 3: \( p=71 \)

Tomamos otra vez la rama:

\(
\frac16\to\frac14\to\frac13.
 \)

Para \( p=71 \):

\(
\left(\frac 2{71}\right)=+1,
\qquad
\left(\frac 3{71}\right)=+1,
\qquad
\left(\frac 5{71}\right)=+1.
 \)

Los cortes son:

\(
\left\lfloor \frac{71}{6}\right\rfloor=11,
 \)

\(
\left\lfloor \frac{71}{4}\right\rfloor=17,
 \)

\(
\left\lfloor \frac{71}{3}\right\rfloor=23.
 \)

Los signos hasta \( 23 \) son:

+1+1+1+1+1+1-1+1+1+1-1+1-1-1+1+1-1+1+1+1-1-1-1

Primero:

\(
S_{71}\left(\frac16\right)

S_{71}(11/71).
 \)

Entre \( 1 \) y \( 11 \) hay nueve signos \( +1 \) y dos signos \( -1 \), así que:

\(
S_{71}\left(\frac16\right)=9-2=7.
 \)

Ahora miramos la celda de \( 12 \) a \( 17 \):

\(
+1-1-1+1+1-1=0.
 \)

Por tanto:

\(
S_{71}\left(\frac14\right)=7.
 \)

Ahora miramos la celda de \( 18 \) a \( 23 \):

\(
+1+1+1-1-1-1=0.
 \)

Por tanto:

\(
S_{71}\left(\frac13\right)=7.
 \)

Así:

\(
\boxed{
S_{71}\left(\frac16\right)
S_{71}\left(\frac14\right)
S_{71}\left(\frac13\right)

}
 \)

Las celdas son:

\(
B=\left(\frac16,\frac14\right]
\quad\Longleftrightarrow\quad
n=12,\ldots,17.
 \)

\(
C=\left(\frac14,\frac13\right]
\quad\Longleftrightarrow\quad
n=18,\ldots,23.
 \)

La suma en \( B \) es:

\(
+1-1-1+1+1-1=0.
 \)

La suma en \( C \) es:

\(
+1+1+1-1-1-1=0.
 \)

Así que:

\(
\boxed{
B \text{ y } C \text{ son celdas nodales reales.}
}
 \)



La idea esencial es:

\(
\boxed{
S(a)=S(b)=S(c)
}
 \)

significa que las celdas entre esos niveles tienen suma real cero:

\(
\boxed{
\sum_{ap<n\le bp}\left(\frac np\right)=0,
\qquad
\sum_{bp<n\le cp}\left(\frac np\right)=0.
}
 \)

Ese es el esqueleto real de los cristales de Legendre.

[cerrar]

¿Por qué \( p \equiv{3} (mod 4) \)?

Son los que pueden hacerlo, parece que son los únicos que crean esta simetría a través de \( χp​(p−n)=−χp​(n) \) otros habría que explorar qué geometría producen.

¿Cuál es la conjetura?

1º: ¿Los ceros son para todos los infinitos primos \( p \equiv{3} (mod 4) \)? En teoría, sí parece, ¿se puede demostrar?

2º: ¿Sólamente en las variantes que hemos visto  1/4 , 1/10, 3/10 se producen los ceros? o puede haber una línea en 776777/883939 por ejemplo que produzca ceros? Parece que no, pero hay que demostrarlo.

Entonces las líneas esas son las que provocan las cancelaciones (círculos blancos) y las otras que son máximos (círculos rojos) estimados con funciones,  pero no exactos, pero también organizan patrones en líneas... eso sería otro punto a analizar.

Lo de los complejos lo dejaría de lado de momento, es más difícil.

Esto es lo básico, luego en el pdf vienen más cuestiones.

[Richard R Richard]

Hola,  o sigo sin ver el problema o bien tu conjetura no es cierta  tome los 24 primos impares hasta el 100


17 tienen en algun n ,una suma parcial  igualada a cero 0.


6 son de la forma 3mod4 y 11 de la 1mod4, no hay mas opciones
osea los 3mod4 no son los únicos que tienen sumas parciales con 0 ... tu conjetura 1 es falsa.  Una cosa es la simetría de la aparición y otra que no tengan ceros.
la cantidad máxima de esos cero  para los de 3mod 4 es 15 y 14 para los 1 mod 4  , hay comportamientos similares


Sobre la la conjetura 2 no me doy cuenta que es lo que enuncias.

¿Sólamente en las variantes que hemos visto  1/4 , 1/10, 3/10 se producen los ceros?

  es un poco complejo de entender a que le llamas variante, cual es el primo p  si los ratios los basas en compuestos...