Hola, la verdad no termino de entender lo planteado.
Pero algo que confunde muchísimo es tu notación.
Primero hablas de un sistema que puede ser modificado en sus partes, cuya expresión general es:
$$I\times n+i$$
Luego cuando llamás $$P$$ a los pares, usas la $$I$$ para decir que los pares son de la forma:
$$P=I\times 2^n$$
Acá podrías usar $$k$$ por ejemplo en el exponente para no confundir con $$n$$ que venís usando al principio.
Pero acá $$I$$ termina siendo el impar resultante tras dividir el impar $$n$$ veces.
Luego, usas una comparación para expresar dos formas equivalentes de escribir un número par:
$$P=P \, \Longrightarrow \, 3 \times I +1 = I \times 2^n$$
Pero en el ejemplo que das
$$3 \times 19 +1 = 29 \times 2^1$$
Lo que caracterizaste con una misma letra, asume dos valores distintos. $$I=19$$ e $$I=29$$.
Eso marea bastante. Luego cada vez que hables de $$I$$ no se si será la de la forma general del sistema, la de la forma de que expresas un par como potencia de $$2$$ o la de la forma de escribir $$3n+1=3I+1$$.
Ejemplo es que inmediatamente luego del ejemplo, volves a usar $$In+i$$ pero ahora con el aditamento de que cambiaste el sistema poniendo $$In\pm i=P$$.
Y lo complicas más aún cambiando el sistemas a $$3n-S$$ explicando que no podemos escapar de los negativos, asi que nos centraremos en los $$3n+S$$. Y luego confundís cambiando $$n$$ (del sistema) por $$S$$, lo que lo transforma en un sistema $$4S$$ por lo que ya escapa del tipo de sistemas que es Collatz.
Simplemente bastaría con decir que trabajás con $$n$$ impares, donde $$i$$ es un número menor que $$I$$, algo como:
Trabajamos con los sistemas $$an+b$$ donde $$a$$ y $$b$$ son impares y $$b<a$$.
En la página 6 asegurás que (y cito):
...Adelantémonos un poco y hagamos una aseveración
aparentemente apresurada: los únicos casos en los que tendremos un solo bucle (además del $$3n+1$$, claro está) son aquellos donde se cumpla
$$3n+3^m$$
Pero ese caso sería algo como
$$3^m+3n=3(3^{m-1}+n)$$
Cosa que no mapea con el sistema definido inicialmente como $$In+i$$. Cualquier $$i$$ mayor que $$I$$ puede reexpresarse, si tenes por ejemplo:
$$3n+4\to 3(n+1)+1$$
Luego, nada de lo que decis resulta en una afirmación clara. Muchas de tus expresiones estás hechas con ambigüedad, lo que no permite su falsabilidad. El problema con eso, es que no afirmas nada. Por lo tanto, nada de lo que decís puede desmentirse. Pero tampoco dás pruebas de lo que decís.
Pero lo más grave es que lo estás presentando como "Resolución de la Conjetura de Collatz" y no leo en ninguna parte algo que concluya en:
Por eso la conjetura es falsa.
o
Por eso la conjetura es verdadera.
Te soy sincero, lo he leído 3 veces. Y me ha costado mucho hacerlo. No he podido seguir el hilo en ninguna de ellas.
Ni siquiera entendí como pasamos de Collatz a:
$$3 \times 11 +7 = 40/2 = 20/2 = 10/2 = 5$$
Eso en Collatz sería lo mismo que aplicar las reglas al $$13$$ , como te dije
Cualquier $$i$$ mayor que $$I$$ puede reexpresarse
En ese caso:
$$3 \times 11 +7 \to 3 \times (11+2) +1=3 \times 13 +1= 40$$
y diviendo por $$2^3$$, $$40/8=5$$.
