Hola
:
Siguiendo con la serie de ejercicios
"fáciles" sobre topología general, propongo otro para pasar el rato ...
Sea \( f:(X,\tau_X)\longrightarrow (Y,\tau_Y) \) una aplicación entre espacios topológicos. Pruébese:
\( f \) es
abierta \( \Longleftrightarrow \forall\,B\subseteq Y \) es \( f^{-1}(\partial B)\subseteq \partial (f^{-1}(B)) \), donde \( \partial (Z) =Fr(Z) \) denota la
frontera de \( Z \).
PD:Por si es de interés para alguien...
dejo en
spoiler una...
propuesta de resolución
\( ``\Longrightarrow" \)
Sea \( x\in f^{-1}(\partial B) \); dado un entorno abierto arbitrario \( V^x\in\tau_X \) de \( x \) en \( (X,\tau_X) \), se tiene que \( f(x)\in f(V^x)\in\tau_Y \) (por hipótesis), luego, en particular, \( f(V^x)\cap B\neq \emptyset \), ya que \( f(x)\in \partial B \), y así, existe \( y\in f(V^x)\cap B\Longrightarrow \exists\,z\in V^x \) tal que \( y=f(z)\in B \) de donde \( z\in V^x\cap f^{-1}(B) \), es decir, \( V^x\cap f^{-1}(B)\neq \emptyset \) y, por tanto, \( x\in\overline{f^{-1}(B)} \).
Análogamente, \( f(V^x)\cap (Y\setminus B)\neq \emptyset \) y así, existe \( t\in f(V^x)\cap (Y\setminus B)\Longrightarrow \exists\,w\in V^x \) tal que \( t=f(w)\in Y\setminus B \) de donde \( w\in V^x\cap f^{-1}(Y\setminus B) \), es decir, \( V^x\cap f^{-1}(Y\setminus B)\neq \emptyset\Longleftrightarrow V^x\cap (X\setminus f^{-1}(B))\neq \emptyset \) y, por tanto, \( x\in\overline{X\setminus f^{-1}(B)} \).
En definitiva \( x\in \overline{f^{-1}(B)}\cap \overline{X\setminus f^{-1}(B)}=\partial (f^{-1}(B)) \)
\( ``\Longleftarrow " \)
Sea \( G\in\tau_X \), veamos que \( f(G)\in\tau_Y \). Se puede probar viendo que su intersección con su frontera es vacía, ya que se tiene la caracterización \( D\in\tau_Y\Longleftrightarrow (\partial D)\cap D=\emptyset \). Por reducción al absurdo, si existe \( y\in (\partial f(G))\cap f(G)\Longrightarrow \exists\,x\in G \) tal que \( y=f(x)\in \partial f(G) \) luego \( x\in f^{-1}(\partial f(G))\subseteq \partial f^{-1}f(G) \) (por hipótesis). Así, en particular, \( G\cap (X\setminus f^{-1}f(G))\neq \emptyset \), lo cual es absurdo, ya que existiría \( z\in G \) tal que \( z\notin f^{-1}f(G) \), que contradice el hecho \( G\subseteq f^{-1}f(G) \).
En definitiva, \( (\partial f(G))\cap f(G)=\emptyset\Longleftrightarrow f(G)\in\tau_Y \) y es \( f \) abierta.
Saludos
