Hola
No estaría de más que explicases más en detalle que es cada cosa. Pero en fin...
He calculado esto, creo que no me he equivocado, eso espero.
\( e^{e^z} + e^{e^{1-z}} = 0 \)
\( z_n = \frac{1}{2} + i \cdot \gamma_n \)
\( \gamma_1 = 1.262118679885 \)
\( \gamma_2 = 1.879473973705 \)
\( \gamma_3 = 4.403711333475 \)
\( \gamma_4 = 5.021066627295 \)
\( \gamma_5 = 7.545303987064 \)
\( \Delta \gamma_{2n} + \Delta \gamma_{2n-1} = \pi \ \)
\( (1.8795 - 1.2621) + (4.4037 - 1.8795) = 0.6174 + 2.5242 = 3.1416 \approx \pi \ \)
Estás tomando la lista de la parte imaginaria de los zeros de la función \( e^{e^z} + e^{e^{1-z}} \) de la forma \( z=\dfrac{1}{2}+\gamma i \) con \( \gamma>0 \).
Pero:
\( e^{e^z} + e^{e^{1-z}}=0\quad \Leftrightarrow{}\quad e^{e^z-e^{1-z}}=-1\quad \Leftrightarrow{}\quad e^z-e^{1-z}=(\pi+2k\pi)i\quad \Leftrightarrow{}\quad e^z-e^{1-z}=(2k+1)\pi i \) para algún \( k\in \Bbb Z \)
Si \( z=\dfrac{1}{2}+\gamma i \), queda:
\( e^{1/2+\gamma i}-e^{1/2-\gamma i}=(2k+1)\pi i \)
\( \sqrt{e}(cos(\gamma)+i\,sin(\gamma))-\sqrt{e}(cos(\gamma)-i\,sin(\gamma))=(2k+1)\pi i \)
\( 2\sqrt{e}sin(\gamma)=(2k+1)\pi \)
\( sin(\gamma)=\dfrac{(2k+1)\pi}{2\sqrt{e}} \)
Para que pueda existir solución dado que el seno toma valores en \( [-1,1] \) tiene que cumplirse \( \dfrac{(2k+1)\pi}{2\sqrt{e}}\in [-1,1] \) y eso sólo ocurre para \( k=-1,0 \).
Es decir la ecuación equivale a:
\( sin(\gamma)=\pm \dfrac{\pi}{2\sqrt{e}} \)
Dado que \( sin(x)=sin(\pi-x)=-sin(x+\pi)=sin(2\pi+x) \), las soluciones positivas ordenadas de menor a mayor son:
\( \gamma_1=arcsin(\pi/(2\sqrt{e})) \)
\( \gamma_2=\pi-\gamma_1 \)
\( \gamma_3=\gamma_1+\pi \)
\( \gamma_4=\gamma_2+\pi \)
\( \gamma_5=\gamma_1+2\pi \)
\( \gamma_6=\gamma_2+2\pi \)
y en general:
\( \gamma_{2n+1}=\gamma_1+n\pi \)
\( \gamma_{2n}=\gamma_2+(n-1)\pi \)
Por tanto, trivialmente, lo que dices se da de manera exacta es decir:
\( \Delta_{\gamma_{2n}}+\Delta_{\gamma_{2n-1}}=\gamma_{2n+1}-\gamma_{2n}+\gamma_{2n}-\gamma_{2n-1}=\gamma_{2n+1}-\gamma_{2n-1}=\gamma_2+n\pi-(\gamma_2+(n-1)\pi)=\pi \)
Saludos.
