[Zoro]

Hola buenas a todos
Realicé la siguiente demostración para: Si \( 2^n - 1 \) es primo \( \Longrightarrow \) \( n \) es impar o \( n = 2 \).



Tengo dudas si la misma es correcta, y también quería saber si alguno conoce alguna manera más sencilla o diferente de demostrar esto.

[Pie]

Una forma (diría no muy complicada):

Si \( n \) es par tenemos que \( n = 2k \) y:

\[ 2^n - 1 = 2^{2k} - 1 = 4^k - 1 \]

Factorizando:

\[ 4^k - 1 = (4-1)\underbrace{(4^{k-1}+4^{k-2}+\ldots+4^{k-k})} _{m\in{\mathbb{N}}} = 3\cdot m  \]

Por lo que, si \( n \) es par, \( 2^n - 1 \) es siempre múltiplo de \( 3 \) y solo es primo para \( n = 2  \)..

Saludos.

[Carlos Oyarzo]

Buenas noches.

Supongamos que n es compuesto, entonces n = ab, luego:
\( 2^n - 1 = (2^a)^b - 1 = (2^a-1)(1 + 2^a + (2^a)^2 + ...)  \) sería compuesto, lo cual es absurdo.
Así, n es primo, en particular, n = 2 o impar.

Salu2

[feriva]

Hola buenas a todos
Realicé la siguiente demostración para: Si \( 2^n - 1 \) es primo \( \Longrightarrow \) 2 es impar o \( n = 2 \).

Tengo dudas si la misma es correcta, y también quería saber si alguno conoce alguna manera más sencilla o diferente de demostrar esto.

Me he liado con el enunciado, eso del spoiler no tiene que ver.

Antes estaba despistadísimo y ni me he fijado. Es la demostración clásica de que para todo número primo de Mersenne $$M_n$$, n es necesariamente primo (no ocurre al revés). Ya te han puesto la demostración, pero, si quieres más detalles, puedes buscar por internet poniendo "Mersenne n es primo" o algo así

Spoiler

Basta con demostrar que cero no es primo (demostración directa, 0+0+0...=k*0); y con eso ya se cumple la disyunción exclusiva.

Ah, perdón, no, me he despistado, eso demuestra que es par o impar, pero no que es impar o 2; en cualquier caso, por definición, un primo es un número que no se puede expresar como la suma repetida de un mismo número distinto de 1, con usar eso vale.

Spoiler

Aunque es evidente, 2 sólo se puede escribir así 2 o como suma repetida de unos 1+1, equivale a decir que sólo es divisible entre 1 y sí mismo. El concepto de par es lo mismo que el de múltiplo de 2, números de la forma 2k que se forman con sumas de doses repetidos 2+2+2... y, entonces, salvo el 2, todos se pueden escribir como suma de un mismo número repetido distinto de 1. Luego todos son compuestos menos el 2.

[cerrar]

[cerrar]

Saludos

[ani_pascual]

Hola:

...
Realicé la siguiente demostración para: Si \( 2^n - 1 \) es primo \( \Longrightarrow \) 2 es impar o \( n = 2 \).
...

¿Te referías a \( n  \), no?
Saludos