Hola.
Igual deberías aclarar un poco el contexto en el que te aparece la duda. El tipo de expresiones que indicas suelen aparecer en cálculo de límites. En este contexto, cuando decimos por ejemplo cosas como que \[ 2÷0=\infty \] no estamos dividiendo nada entre cero, simplemente nos referimos a que si dividimos una sucesión que tiene límite 2 entre otra que no se anula pero que tiene límite 0 obtenemos otra que tiene límite infinito. Todo esto que estoy diciendo tiene un significado concreto, si hay algo que no entiendes coméntalo y lo vemos.
De esta manera, \[ 0÷0 \] es indeterminado porque depende de las sucesiones en sí que haya en el numerador y en el denominador. Es decir, hay cocientes de sucesiones con límite cero que tienden a cero, otros tienden a infinito, otros a uno, a \[ \pi \], a \[ \sqrt[ 5]{83} \], otros carecen de límite, etc.
Entonces, tenemos 2 casos:
1) (0÷0)×0 = c×0 = 0
2) 0÷(0×0) = 0÷0 = c = indefinido
En principio, la pregunta que haces en el título del hilo corresponde con el punto 1, ya que en ausencia de paréntesis la división tiene prioridad sobre la multiplicación.
En el contexto en el que estoy hablando yo, lo que dices en el punto 1 es falso. La trampa está en que el límite de 0÷0 no tiene por qué dar finito. Por ejemplo:
\[ \lim_{n\to{}\infty} \displaystyle\left(\frac{1}{n}÷\displaystyle\frac{1}{n^2}\right)\cdot{}\displaystyle\frac{1}{n}= \]
\[ \lim_{n\to{}\infty} \displaystyle\frac{n^2}{n}\cdot{\displaystyle\frac{1}{n}}= \]\[ \lim_{n\to{}\infty} \displaystyle\frac{n^2}{n^2}=1 \]
E igual que antes se pueden conseguir límites que den un número real cualquiera prefijado, o que den infinito, o que no existan. Es decir, estamos ante una indeterminación.
En cuanto a lo que dices en el punto 2, es cierto que es una indeterminación, pero el límite no tiene por qué dar finito. Igual que antes puede dar infinito o no existir.
Un saludo.
