[Eparoh]

Hola a todos.

Revisando unas cosas he visto la demostración que da del Teorema 12.17 de LM y no veo claro que punto de la demostración de que en \( V_\omega \) se cumple el axioma de reemplazo falla si lo sustituimos por \( V_{\omega+\omega} \), por ejemplo. Sé que tiene que fallar, porque si no \( V_{\omega+\omega} \) es un modelo de ZF que es un conjunto y la hemos liado, pero no consigo verlo

A ver si alguien puede iluminarme.

Un saludo.

[Carlos Ivorra]

Lo que pasa es que el axioma de reemplazo te da un cuyos elementos son los requeridos, pero falta probar que , y ello se debe a que \( q \) es finito (es la imagen por una aplicación de un conjunto finito), y todo subconjunto finito de \( V_\omega \) está en \( V_\omega \).

Ahora mismo tengo bastante trabajo, pero en cuanto pueda añadiré algo a la prueba para destacar este hecho.

Si consideras \( V_{\omega+\omega} \), puedes considerar una fórmula \( \phi(x, y)\equiv y = \omega + n \) y el conjunto \( a = \omega\in V_{\omega+\omega} \). Si sigues la demostración de 12.17, obtienes ciertamente el conjunto \( b = \omega+\omega\subset V_{\omega+\omega} \) que "cumple" el axioma de reemplazo para esta fórmula salvo por el hecho de que \( b\notin V_{\omega+\omega} \).

Esto prueba, de hecho, que en la teoría de Zermelo no es posible demostrar la existencia del ordinal \( \omega+\omega \), ya que dicho ordinal no existe en \( V_{\omega+\omega} \).

[Eparoh]

Hola Carlos.

¡Claro! Que el conjunto \( q \) que se necesita en la prueba y que te da el axioma de reemplazo tiene que estar en el modelo, vaya fallo más tonto el mío.

Todo aclarado, ¡gracias!

Un saludo.

PD: Ya que dices que añadirás algo en esa prueba, en la misma página, en el resumen con las relativizaciones de los axiomas de ZFC, en el de reemplazo creo que falta un \( \forall y \in M \) en la segunda línea.

[Carlos Ivorra]

Ya he añadido lo que faltaba (y el \( \in M \), gracias).

Observa que lo que se usa para probar que \( V_\omega \) cumple el axioma de reemplazo son dos cosas:

1) Todo \( x\in V_\omega \) es finito.
2) Todo \( x\subset V_\omega \) finito cumple, de hecho, \( x\in V_\omega \).

Esto mismo lo cumple \( V_\kappa \) si \( \kappa \) es fuertemente inaccesible:

1) Todo \( x\in V_\kappa \) cumple \( |x|<\kappa \).
2) Todo \( x\subset V_\kappa \) tal que \( |x|<\kappa \) cumple \( x\in V_\kappa \).

Y por eso \( V_\kappa \) cumple el axioma de reemplazo. Pero, ojo, estas condiciones son suficientes, pero no necesarias. Un conjunto \( V_\lambda \) puede ser un modelo de ZFC sin que \( \lambda \) sea un cardinal fuertemente inaccesible. Podría ser incluso un ordinal numerable.

[Eparoh]

Hola Carlos.

Gracias por la respuesta, ahora ya está todo claro, salvo un pequeño detalle. Para asegurar que \( q \subset V_\omega \) y con ello que es el conjunto deseado, no habría que aplicar el axioma de reemplazo a la fórmula \( V_\omega \models \phi[v_{xy}^{uv}] \wedge u \in V_\omega \wedge v \in V_\omega \). Lo digo porque en principio, la fórmula \( V_\omega \models \phi[v_{xy}^{uv}] \) no implica que \( u, v \in V_\omega \), ¿no? Y, esa hipótesis es necesaria para que se cumpla el antecendente del axioma de reemplazo y todo funcione.

Un saludo.

[Carlos Ivorra]

Para asegurar que \( q \subset V_\omega \) y con ello que es el conjunto deseado, no habría que aplicar el axioma de reemplazo a la fórmula \( V_\omega \models \phi[v_{xy}^{uv}] \wedge u \in V_\omega \wedge v \in V_\omega \). Lo digo porque en principio, la fórmula \( V_\omega \models \phi[v_{xy}^{uv}] \) no implica que \( u, v \in V_\omega \), ¿no? Y, esa hipótesis es necesaria para que se cumpla el antecendente del axioma de reemplazo y todo funcione.

Sí. Ya está arreglado. Gracias.