Hola RH
Tu función sería $$n_{i+1}=\begin{cases}{ \dfrac{n_i+1}{2}}&\text{si}& n_i\text{ es impar} \\\dfrac{n_i}{2} & \text{si}& n_i\text{ es par}\end{cases}$$
Esto \( P(n_0) < \log_2(n_0) \) no estima el numero de pasos sino el primo al que quieres arribar
Si \( x \) es el número de pasos y resulta que \( n \) es múltiplo de un primo y una potencia de 2 entonces $$n=2^xp$$ aplicando logaritmos $$x=\dfrac{\log_2n}{\log_2p}$$ en el caso que p sea 2 entonces si
$$x=\log_2n$$
pero si en vez siempre repetir la parte de la función que divide supones que a cada iteración obtienes un impar no primo entonces llegas a
$$n+\sum\limits_{i=1}^x i^2=2^xp$$ en el caso que $$p=2$$ tienes $$log_2(n+\dfrac{x(x+1)(2x+1)}{6})-1=x$$
Cualquier descenso de la misma cantidad de pasos se ubica entre esos dos extremos.
Pero entiendo que la serie termina ante cualquier primo así que pocas series pueden darse llegando a 2, viniendo de impares, porque requerirá pasar por el 3 que es primo y terminaría antes, así que vendría del 4 y este de 8 o del 7 así que solo puede venir de 8... pues 7 es primo y terminaría la serie , asu vez 8 si puede venir de 15 o 16 ya que 15 no es primo que solo puede venir del 30 porque 29 es primo... Siempre la mayor cantidad de iteraciones mayor se dará con el primo menor. Como cualquier numero entre $$2^x$$ y $$2^{x+1}$$ tiene el logaritmo en base \( 2 \) mayor a x y menor a x+1 si se descendiera a 1 como en Collatz se requerirían $$x+1$$ pasos máximo pero solo hay que descender a 2, luego $$x =\lfloor \log_2n_0\rfloor$$ es buena estimación para el máximo de pasos.
