n=1: (1 0 1) -> Suma: 2
n=2: (22 101 22) -> Suma: 10
n=3: (333 2210122 333) -> Suma: 28
n=4: (4444 333...333 4444) -> Suma: 60
n=5: (55555 444...0...444 55555) -> Suma: 110
% --- 1. DEFINICIÓN DE LA SUMA DE DÍGITOS ---
% La suma original de los palíndromos sigue el doble de los cuadrados
\( S_n = 2 \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3}
\)
% --- 2. LONGITUD DE CADA BLOQUE OPTIMIZADO ---
% Cada bloque n debe sumar exactamente \( n^2 \) usando el dígito 9
\( L(z_i) = \left\lceil \frac{i^2}{9} \right\rceil
\)
% --- 3. LONGITUD TOTAL ACUMULADA ---
% La longitud total del número concatenado es la suma de los bloques
\( \mathcal{L}_n = \sum_{i=1}^{n} L(z_i) \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{i^2}{9}
\)
% --- 4. APROXIMACIÓN POR INTEGRAL (n -> \( \infty \)) ---
% Para valores grandes, convertimos la suma en integral
\( \mathcal{L}_n \approx \int_{0}^{n} \frac{x^2}{9} dx = \left[ \frac{x^3}{27} \right]_0^n = \frac{n^3}{27}
\)
% --- 5. FÓRMULA DE COMPROBACIÓN ---
% La fórmula busca la relación entre la raíz cúbica de la longitud y n
\( f(n) = \frac{(\mathcal{L}_n)^{1/3}}{n}
\)
% --- 6. SUSTITUCIÓN Y SIMPLIFICACIÓN ---
% Aplicamos la aproximación cúbica a la fórmula de escala
\( f(n) \approx \frac{\left( \frac{n^3}{27} \right)^{1/3}}{n} = \frac{\frac{n}{3}}{n} = \frac{1}{3}
\)
% --- 7. RESULTADO DEL LÍMITE FINAL ---
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\frac{\left( \sum_{i=1}^{n} \lceil i^2/9 \rceil \right)^{1/3}}{n}} = 0.3333... \)
