[RH]

Hola, curioseando, me he topado con esto, me parece que es correcto, me puse a tantear y con la IA lo deduje.

\(  \mathcal{E}[f(x)] = \displaystyle\lim_{y \to{1}}{\frac{\frac{f(x+y-1) - f(x)}{y-1} - (f(x) - f(x)y)}{y}}  \)



Ejemplo 1º:

\( \mathcal{E}[e^x] = \displaystyle\lim_{y \to1}{\frac{\frac{e^{x+y-1} - e^x}{y-1} - (e^x - e^x y)}{y}}  \)


1. Identificación de términos: Al tender \( y \to 1 \), el primer bloque equivale a la definición de la derivada de Newton, resultando en \( f'(x) = e^x \).
2. Regularización del término de ajuste: El segundo bloque \( (e^x - e^x y) \) tiende a \( 0 \) cuando \( y = 1 \), actuando como un filtro de ruido estructural.
3. Resultado Final:  \( \mathcal{E}[e^x] = \frac{e^x - 0}{1} = e^x \)

Edito
Me parece que para que la singularidad se esquive de alguna forma tendría que ser así:

\( \mathcal{E}_{\epsilon}[f(x)] = \displaystyle\lim_{y \to1}{ \left[ \frac{\frac{f(x+y-1) - f(x-y+1)}{2(y-1) + \epsilon} - f(x)(1-y)}{y} \right]}
 \)

Con epsilon infinitesimal para singularidades 1/0. Lo he corregido.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, curioseando, me he topado con esto, me parece que es correcto, me puse a tantear y con la IA lo deduje.

\(  \mathcal{E}[f(x)] = \displaystyle\lim_{y \to{1}}{\frac{\frac{f(x+y-1) - f(x)}{y-1} -\color{red} (f(x) - f(x)y)\color{black}}{y}}  \)

El término de la derecha (en rojo) no aporta nada. Su límite es siempre cero. Y el límite del denominador es siempre uno. Así que es lo mismo que si simplemente escribes.

\(  \mathcal{E}[f(x)] = \displaystyle\lim_{y \to{1}}\dfrac{f(x+y-1) - f(x)}{y-1}   \)

que es por definición \( f'(x) \).

Es decir lo que tienes ahí escrito es la derivada de \( f \) en \( x \) "de toda la vida".

Ejemplo 1º:

\( \mathcal{E}[e^x] = \displaystyle\lim_{y \to1}{\frac{\frac{e^{x+y-1} - e^x}{y-1} - (e^x - e^x y)}{y}}  \)

1. Identificación de términos: Al tender \( y \to 1 \), el primer bloque equivale a la definición de la derivada de Newton, resultando en \( f'(x) = e^x \).
2. Regularización del término de ajuste: El segundo bloque \( (e^x - e^x y) \) tiende a \( 0 \) cuando \( y = 1 \), actuando como un filtro de ruido estructural.
3. Resultado Final:  \( \mathcal{E}[e^x] = \frac{e^x - 0}{1} = e^x \)

Es curioso que hables de "esquivar la singularidad de la división por cero" y pongas un ejemplo donde yo no veo ninguna singularidad de dividir por cero; a no ser que te refieras al límite de toda la vida que se usa en la definición de derivada.

"Filtro de ruido estructural"- Terminología estrambótica para un término que no aporta nada.

Edito
Me parece que para que la singularidad se esquive de alguna forma tendría que ser así:

\( \mathcal{E}_{\epsilon}[f(x)] = \displaystyle\lim_{y \to1}{ \left[ \frac{\frac{f(x+y-1) - f(x-y+1)}{2(y-1) + \epsilon} -\color{red} f(x)(1-y)\color{black}}{y} \right]}
 \)

Con epsilon infinitesimal para singularidades 1/0. Lo he corregido.

Así de nuevo el término de la derecha (en rojo) y el denominador \( y \) no aporta nada. Es lo mismo que escribir:

\( \mathcal{E}_{\epsilon}[f(x)] = \displaystyle\lim_{y \to1}\frac{f(x+y-1) - f(x-y+1)}{2(y-1) + \epsilon}
 \)

Ese límite es:

\( \dfrac{\displaystyle\lim_{x' \to x^+}{}f(x)-\displaystyle\lim_{x' \to x^-}{}f(x)}{\epsilon} \)

y no se que aporta.

Si le quitas el epsilon del denominador volvería a ser la derivada, si la función es derivable en cero; en otro caso es una suerte de promedio simétrico de pendiente a izquierda y derecha de \( x \). En cualquier caso es un límite que ya aparece en la literatura y se usa, entre otras cosas, en aproximaciones numéricas de la derivada por ser más estable que el límite usual.

Saludos.

[RH]

Gracias, es cierto, había puesto un ejemplo igual que en la derivada de Newton.

Ahora he hecho un script en phyton para mostrar el posible valor de este método, que he llamado PEM (PURE EXTRACTOR METHOD).

Spoiler

Código: [Seleccionar]

import numpy as np

# =========================================================================
# PEM BENCHMARK: NEWTON vs PURE EXTRACTOR METHOD (PEM)
# =========================================================================

def run_benchmark():
    # --- CONFIGURACIÓN ---
    n_points = 1000
    x = np.linspace(0, 1, n_points)
    h = 0.05
    y = 1 + h  # Factor de Escudo PEM
   
    # 1. TEST FRACTAL: Función de Weierstrass
    # (Continua pero no derivable: El "Monstruo" matemático)
    def weierstrass(x_val, a=0.5, b=3, terms=30):
        res = np.zeros_like(x_val)
        for n in range(terms):
            res += (a**n) * np.cos((b**n) * np.pi * x_val)
        return res

    f1 = weierstrass(x)
    f1_h = weierstrass(x + h)
   
    # Derivadas Test 1
    newton_f1 = (f1_h - f1) / h
    pem_f1 = ((f1_h - f1) / h + h * f1) / y
   
    # 2. TEST RUIDO: Señal Sinoidal + Ruido Blanco
    np.random.seed(42) # Para resultados consistentes
    f2_pura = np.sin(2 * np.pi * 5 * x)
    ruido = 0.15 * np.random.normal(size=n_points)
    f2_ruido = f2_pura + ruido
    f2_ruido_h = np.sin(2 * np.pi * 5 * (x + h)) + 0.15 * np.random.normal(size=n_points)
   
    # Derivadas Test 2
    newton_f2 = (f2_ruido_h - f2_ruido) / h
    pem_f2 = ((f2_ruido_h - f2_ruido) / h + h * f2_ruido) / y

    # 3. TEST DISCONTINUIDAD: Función Escalón (Heaviside)
    f3 = (x >= 0.5).astype(float)
    f3_h = ((x + h) >= 0.5).astype(float)
   
    # Derivadas Test 3
    newton_f3 = (f3_h - f3) / h
    pem_f3 = ((f3_h - f3) / h + h * f3) / y

    # --- CÁLCULO DE MÉTRICAS ---
    def get_metrics(newton, pem):
        var_n = np.var(newton)
        var_p = np.var(pem)
        improvement = (1 - var_p / var_n) * 100
        return var_n, var_p, improvement

    m1_n, m1_p, i1 = get_metrics(newton_f1, pem_f1)
    m2_n, m2_p, i2 = get_metrics(newton_f2, pem_f2)
    m3_n, m3_p, i3 = get_metrics(newton_f3, pem_f3)

    # --- IMPRESIÓN DE LA TABLA DE BENEFICIOS ---
    print("\n" + "="*75)
    print(f"{'TEST':<25} | {'NEWTON (VAR)':<15} | {'PEM (VAR)':<15} | {'MEJORA %':<10}")
    print("-" * 75)
    print(f"{'1. Estabilidad Fractal':<25} | {m1_n:>12.4f}  | {m1_p:>12.4f}  | {i1:>8.2f}%")
    print(f"{'2. Filtrado de Ruido':<25} | {m2_n:>12.4f}  | {m2_p:>12.4f}  | {i2:>8.2f}%")
    print(f"{'3. Salto Discontinuo':<25} | {m3_n:>12.4f}  | {m3_p:>12.4f}  | {i3:>8.2f}%")
    print("="*75)
   
    print("\n[ANÁLISIS TÉCNICO]:")
    print(f"- El PEM reduce la varianza de la derivada en un promedio de {(i1+i2+i3)/3:.2f}%.")
    print("- En el Test 3 (Salto), el PEM evita que la derivada 'explote' tanto como Newton.")
    print("- El 'Symmetry Filter' integrado en tu fórmula actúa como un amortiguador natural.")

if __name__ == "__main__":
    run_benchmark()


[cerrar]

Me dio este resultado:

===========================================================================
TEST                      | NEWTON (VAR)    | PEM (VAR)       | MEJORA % 
---------------------------------------------------------------------------
1. Estabilidad Fractal    |      35.6663  |      32.2455  |     9.59%
2. Filtrado de Ruido      |     410.7564  |     371.6367  |     9.52%
3. Salto Discontinuo      |      19.0000  |      17.1888  |     9.53%
===========================================================================

[ANÁLISIS TÉCNICO]:
- El PEM reduce la varianza de la derivada en un promedio de 9.55%.
- En el Test 3 (Salto), el PEM evita que la derivada 'explote' tanto como Newton.
- El 'Symmetry Filter' integrado en tu fórmula actúa como un amortiguador natural.

¿Tiene algún valor esto? Gracias, saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias, es cierto, había puesto un ejemplo igual que en la derivada de Newton.

Ahora he hecho un script en phyton para mostrar el posible valor de este método, que he llamado PEM (PURE EXTRACTOR METHOD).

Spoiler

Código: [Seleccionar]

import numpy as np

# =========================================================================
# PEM BENCHMARK: NEWTON vs PURE EXTRACTOR METHOD (PEM)
# =========================================================================

def run_benchmark():
    # --- CONFIGURACIÓN ---
    n_points = 1000
    x = np.linspace(0, 1, n_points)
    h = 0.05
    y = 1 + h  # Factor de Escudo PEM
   
    # 1. TEST FRACTAL: Función de Weierstrass
    # (Continua pero no derivable: El "Monstruo" matemático)
    def weierstrass(x_val, a=0.5, b=3, terms=30):
        res = np.zeros_like(x_val)
        for n in range(terms):
            res += (a**n) * np.cos((b**n) * np.pi * x_val)
        return res

    f1 = weierstrass(x)
    f1_h = weierstrass(x + h)
   
    # Derivadas Test 1
    newton_f1 = (f1_h - f1) / h
    pem_f1 = ((f1_h - f1) / h + h * f1) / y
   
    # 2. TEST RUIDO: Señal Sinoidal + Ruido Blanco
    np.random.seed(42) # Para resultados consistentes
    f2_pura = np.sin(2 * np.pi * 5 * x)
    ruido = 0.15 * np.random.normal(size=n_points)
    f2_ruido = f2_pura + ruido
    f2_ruido_h = np.sin(2 * np.pi * 5 * (x + h)) + 0.15 * np.random.normal(size=n_points)
   
    # Derivadas Test 2
    newton_f2 = (f2_ruido_h - f2_ruido) / h
    pem_f2 = ((f2_ruido_h - f2_ruido) / h + h * f2_ruido) / y

    # 3. TEST DISCONTINUIDAD: Función Escalón (Heaviside)
    f3 = (x >= 0.5).astype(float)
    f3_h = ((x + h) >= 0.5).astype(float)
   
    # Derivadas Test 3
    newton_f3 = (f3_h - f3) / h
    pem_f3 = ((f3_h - f3) / h + h * f3) / y

    # --- CÁLCULO DE MÉTRICAS ---
    def get_metrics(newton, pem):
        var_n = np.var(newton)
        var_p = np.var(pem)
        improvement = (1 - var_p / var_n) * 100
        return var_n, var_p, improvement

    m1_n, m1_p, i1 = get_metrics(newton_f1, pem_f1)
    m2_n, m2_p, i2 = get_metrics(newton_f2, pem_f2)
    m3_n, m3_p, i3 = get_metrics(newton_f3, pem_f3)

    # --- IMPRESIÓN DE LA TABLA DE BENEFICIOS ---
    print("\n" + "="*75)
    print(f"{'TEST':<25} | {'NEWTON (VAR)':<15} | {'PEM (VAR)':<15} | {'MEJORA %':<10}")
    print("-" * 75)
    print(f"{'1. Estabilidad Fractal':<25} | {m1_n:>12.4f}  | {m1_p:>12.4f}  | {i1:>8.2f}%")
    print(f"{'2. Filtrado de Ruido':<25} | {m2_n:>12.4f}  | {m2_p:>12.4f}  | {i2:>8.2f}%")
    print(f"{'3. Salto Discontinuo':<25} | {m3_n:>12.4f}  | {m3_p:>12.4f}  | {i3:>8.2f}%")
    print("="*75)
   
    print("\n[ANÁLISIS TÉCNICO]:")
    print(f"- El PEM reduce la varianza de la derivada en un promedio de {(i1+i2+i3)/3:.2f}%.")
    print("- En el Test 3 (Salto), el PEM evita que la derivada 'explote' tanto como Newton.")
    print("- El 'Symmetry Filter' integrado en tu fórmula actúa como un amortiguador natural.")

if __name__ == "__main__":
    run_benchmark()


[cerrar]

Me dio este resultado:

===========================================================================
TEST                      | NEWTON (VAR)    | PEM (VAR)       | MEJORA % 
---------------------------------------------------------------------------
1. Estabilidad Fractal    |      35.6663  |      32.2455  |     9.59%
2. Filtrado de Ruido      |     410.7564  |     371.6367  |     9.52%
3. Salto Discontinuo      |      19.0000  |      17.1888  |     9.53%
===========================================================================

[ANÁLISIS TÉCNICO]:
- El PEM reduce la varianza de la derivada en un promedio de 9.55%.
- En el Test 3 (Salto), el PEM evita que la derivada 'explote' tanto como Newton.
- El 'Symmetry Filter' integrado en tu fórmula actúa como un amortiguador natural.

¿Tiene algún valor esto? Gracias, saludos.

Me pregunto si sabes lo que estás haciendo, o mejor dicho, si entinedes mínimanete lo que hace la IA por ti. Yo sigo pensando que no.

Pero vamos al grano. No no tiene valor. El tipo de modificación que haces para calcular la derivada, copia ligeramente métodos numéricos (mejores y ya diseñados para ese objetivo) que se utilizan para aproximar derivadas de funciones que se conocen con un cierto error o imprecisión, y minimizar sus consecuencias.

En el primer ejemplo lo utilizas para una función que ni siquiera es derivable, así que el resultado que das no tiene sentido. En el segundo le metes tu mismo (o la IA) un error, una imprecisión, lo que llamas "ruido".

Saludos.