Ejercicio de pendiente de la recta y funciones.
Hola, necesito para saber si el ejercicio está correcto. De lo contrario agradezco sus correcciones.
1. Rectas \( L_1 \) y \( L_2 \)
Sea \( L_1 \) la recta que pasa por los puntos \( P(-2,1) \) y \( Q(4,5) \) . Determine la ecuación de una recta $$L_2$$ que sea perpendicular a \( L_1 \) y que forme juntos con los ejes coordenados en el primer cuadrante un triángulo de área igual a \( 12 \) unidades cuadradas
Primero calculamos la pendiente de la recta $$L_1$$:
\[
m_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
\]
\[
m_1=\frac{5-1}{4-(-2)}
\]
\[
m_1=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}
\]
Como $$L_2$$ es perpendicular a $$L_1$$, su pendiente es el inverso negativo:
\[
m_2=-\frac{3}{2}
\]
Entonces la ecuación general de $$L_2$$ es
\[
y=-\frac{3}{2}x+b
\]
Intersección con el eje $$Y$$:
\[
(0,b)
\]
Intersección con el eje $$X$$:
\[
0=-\frac{3}{2}x+b
\]
\[
x=\frac{2b}{3}
\]
Por lo tanto el triángulo tiene:
\[
\text{base}=\frac{2b}{3}, \qquad \text{altura}=b
\]
Área:
\[
A=\frac{1}{2}(\text{base})(\text{altura})
\]
\[
A=\frac{1}{2}\left(\frac{2b}{3}\right)b
\]
\[
A=\frac{b^2}{3}
\]
Como el área es $12$:
\[
\frac{b^2}{3}=12
\]
\[
b^2=36
\]
\[
b=6
\]
Finalmente:
\[
\boxed{L_2: y=-\frac{3}{2}x+6}
\]
2. Región del plano
Determinar la región que cumple simultáneamente:
i) La ordenada es estrictamente menor que la mitad de la abscisa más dos unidades.
ii) El punto pertenece al semiplano superior (incluyendo la frontera) de la recta con pendiente $$m=-1$$ que pasa por $$A(4,2)$$.
Solución
Primera condición:
\[
y<\frac{1}{2}x+2
\]
Segunda condición:
Ecuación de la recta que pasa por $$A(4,2)$$ con pendiente $$-1$$:
\[
y-2=-1(x-4)
\]
\[
y=-x+6
\]
Como se trata del semiplano superior incluyendo la frontera:
\[
y\ge -x+6
\]
Por lo tanto la región solución es:
\[
\boxed{
\begin{cases}
y<\frac{1}{2}x+2\\
y\ge -x+6
\end{cases}}
\]
3. Relaciones entre conjuntos
Se presentan conjuntos $$X$$ y $$Y$$ y relaciones entre ellos
i)
$$X$$: conjunto de estudiantes de una sección de Matemática I.
$$Y$$: conjunto de calificaciones posibles (enteros del $$0$$ al $$20$$).
Cada estudiante se asocia con su calificación obtenida.
Conclusión:
Es una función porque cada estudiante tiene exactamente una calificación.
Rango: conjunto de calificaciones que realmente aparecen en la prueba.
ii)
$$X$$: conjunto de teléfonos móviles registrados en una ciudad.
$$Y$$: conjunto de personas que los poseen.
Cada teléfono se asocia con su propietario.
Conclusión:
Es una función porque cada teléfono pertenece a una sola persona.
Rango: conjunto de personas propietarias de teléfonos.
iii)
\[
X=\{1,2,3,4\}, \qquad Y=\{a,b,c\}
\]
\[
R=\{(1,a),(2,b),(3,a),(4,c)\}
\]
Cada elemento de $$X$$ tiene una sola imagen en $$Y$$.
Conclusión:
Es una función.
Rango:
\[
\{a,b,c\}
\]
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iv)
$$X=Y$$ es el conjunto de todos los puntos del plano.
Relación:
\[
PRQ \iff d(P,Q)<3
\]
Un punto $$P$$ puede relacionarse con muchos puntos $$Q$$.
Conclusión:
No es función.
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Preguntas:
{a) ¿Cuáles relaciones son funciones?
Son funciones:
\[
(i),\ (ii),\ (iii)
\]
No es función:
\[
(iv)
\]
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b) Rangos
(i) Calificaciones obtenidas en la prueba.
(ii) Personas que poseen teléfonos móviles.
(iii) $$\{a,b,c\}$$
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c) Función inyectiva o sobreyectiva
Inyectiva:
Solo la relación (ii) es inyectiva.
Sobreyectiva:
La relación (iii) es sobreyectiva porque todos los elementos de $Y$ tienen preimagen.
