[feriva]

Tengo que empezar explicando a que llamo configuración centro-cardinal de un núméro. Empezaré con un ejemplo para que sea más ameno y se entienda mejor.

Sea el número $$7\cdot 9=63$$.

Coloco en el centro, por ejemplo, el 9:

$$...9...$$

y a cada lado coloco la misma cantidad de números consecutivos y de forma que haya una cantidad de 7 números consecutivos (7 es el otro divisor, y es el “card”, cardinal, de la cantidad de números consecutivos):

$$6,7,8,(9),10,11,12$$

O sea:

c=centro = (particularmente 9 en este caso)

$$card\{6,7,8,9,10,11,12\}=7$$

entonces tenemos que la suma es el número dado, 63; o lo que es lo mismo visto como producto:

$$card\{6,7,8,9,10,11,12\}\cdot c=63$$.

Spoiler

Es casi trivial verlo

Si el centro es c, a los lados de c tenemos las sumas ...(c-3)(c-2)(c-1) y al otro lado de c tenemos (c+1)+(c+2)+(c+3)... de forma que los positivos y negativos se cancelan que dando una suma así c+c+c... con una cantidad de “ces” que es la del cardinal; por tanto, la suma da el producto de c por el cardinal.

[cerrar]

Pero mediante mi forma de ver esto también puedo representar un par mediante una sucesión centro-card tomando c par

$$7,8,9,(10),11,12,13$$

$$7*10=70$$

Lo que no podré representar nunca mediante el enfoque que propongo, “centro-cardinal”, es una potencia de 2, dado que card ha de ser necesariamente impar para que haya un centro simétrico. Esto parece estar relacionado con el hecho de que los hipotéticos números perfectos impares no puedan ser cuadrados perfectos.

Entonces, a partir de ahí, dado un número con al menos un divisor impar distinto de 1, siempre lo podré representar según lo dicho, centro-card, y, dependiendo de la cantidad de divisores, podré expresarlo de distintas maneras según los casos; una disposición distinta centro-card por cada divisor.

Si, por ejemplo, n=28, puedo tomar centro 4 y card 7, pero no puedo tomar centro 7 porque el único card posible es 4, par, y es imposible la simetría; sólo existe una representación centro-card.

En cambio, si es impar, entonces puedo poner en el centro c cualquier divisor propio tomando su card correspondiente, (que es otro divisor de n, es el que hace que el producto por c sea igual a n). A veces tendré que extender los números consecutivos hacia los negativos, pero siempre podré hacerlo (añadiendo el cero entre positivos y negativos; y la suma seguirá dando el producto $$c \cdot card$$).

Obviamente, el único divisor que no voy a tomar como centro o cardinal es 1, porque se correspondería con el divisor no propio (el propio número n) en unos casos como centro y otros como card:

Ejemplo:

$$-1,0,1,2,3$$

1 por 5 igual 5; o sea, con centro en 1 y cardinal 5 (y vemos que la suma también es 5, como no puede ser de otra manera).

Y, en otro caso, simplemente tenemos

$$5$$

con centro $$c=n$$ y cardinal 1.

Llamemos $$ d_{c}$$ a cualquier divisor que tomemos como centro y $$ d_{card}$$ a su divisor cardinal asociado, entonces podemos representar las cotas extremas inferior y superior (sean $$ k_{i}$$ i $$ k_{s}$$) de esta forma:

$$d_{c}-\dfrac{d_{card}-1}{2}=k_{i}$$

$$d_{c}+\dfrac{d_{card}-1}{2}=k_{s}$$

Es fácil observar a qué me estoy refiriendo con cualquier ejemplo:

$$7,8,9,10,(11),12,13,14,15$$

Ahí tenemos $$c=11$$, $$card=9$$ y, por tanto, $$n=99$$.

A cada lado del 11 hay cuatro números, esto es $$\dfrac{d_{card}-1}{2}=\dfrac{9-1}{2}=4$$

Entonces, si a 11 le quitamos 4 tenemos el extremo inferior, 7, y si le sumamos 4 tenemos el superior, 15.

Por lo visto hasta aquí, queda claro que la suma de los números del conjunto del card usado será un impar si $$n$$ es impar (obvio).

...

Como he dicho más arriba, el número 28 sólo tiene una disposición centro-cardinal posible debido a que sólo tiene un divisor impar y éste se ve obligado a ser el único cardinal. Y vemos que el número 28 es un número perfecto.

La curiosidad nos mueve, entonces, a inspeccionar si esto ocurre con los sucesivos números perfectos.

Vamos mirando los divisores de los primeros perfectos:

1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496

sólo tiene el 31 como divisor impar.

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064, 8128.

sólo tiene el 127.

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8191, 16382, 32764, 65528, 131056, 262112, 524224, 1048448, 2096896, 4193792, 8387584, 16775168, 33550336

sólo tiene el 8191...

Parece que los números perfectos van a tener un sólo divisor impar; y esto está completamente relacionado con el enfoque centro-card, o esa impresión da.

De hecho, ese divisor impar es un primo de Mersenne, el primo de Mersenne de la fórmula general de Euler para los números perfectos pares. Ocurre entonces que la única configuración posible centro-card empieza siempre por $$K_i=1$$ y acaba por $$K_s=primo_Mersenne1$$, siendo su centro una potencia de 2.

Así que, postulo (sin demostrar): los números perfectos sólo tienen una representación centro-card, por lo que no pueden ser impares ni pares con más de un divisor impar, dado que éstos tiene al menos dos representaciones centro-card (o bien, en otro caso, son primos, pero los primos no son perfectos de manera obvia).

...

Ejercicio práctico:

Tomemos, por ejemplo, 105=3*5*7

Sus configuraciones centro-card son las siguientes a partir de sus divisores propios sin el uno, [3, 5, 7, 15, 21, 35], hacen seis representaciones o configuraciones:

Para representarlas, empezaremos ordenadamente tomando los divisores extremos y después yendo simétricamente hacia el interior (ahora sobre la marcha se entenderá lo dicho):

105=divisor más pequeño * divisor más grande (son los extremos propiamente dicho, los “más exteriores” a izquierda y derecha)

o sea

105=3*35

Para representar la configuración, acudimos a las fórmulas de los extremos inferior y superior, que eran

$$d_{c}-\dfrac{d_{card}-1}{2}=k_{i}$$

$$d_{c}+\dfrac{d_{card}-1}{2}=k_{s}$$

Con d_c=3 y d_{card}=35, tenemos los extremos

$$3-\dfrac{35-1}{2}=k_{i}=-14$$ (es el k inferior y, en efecto, tiene que ser negativo).

y el superior

$$3+\dfrac{35-1}{2}=k_{s}=20$$

Luego la configuración 1ª es

1ª= -14,-13,-12,-11,-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1, 0,1,2,(3),4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20

Siguiendo el método, obtenemos las restantes configuraciones:

2ª=34, (35), 36

3ª=-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, (5), 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

4ª=19, 20, (21), 22, 23

5ª=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, (7), 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14

6ª=12, 13, 14, (15), 16, 17, 18

Spoiler

105 tiene ocho divisores, si quitamos el 1 y el propio 105 son 6, y entonces podemos obtener 6 configuraciones distintas.

[cerrar]

En efecto, como no puede ser de otra manera, la suma de sus números es 105 y esto pasa con todas las configuraciones, aunque no todas tendrán la misma cantidad de números; pero en todos los casos son números consecutivos.

Trasteando:

Empecemos a a analizar de forma simple por qué en este caso particular no puede ser igual a la suma de su divisores:

Los divisores propios sin el 1 son [3, 5, 7, 15, 21, 35] y los dos más grandes, 21, 35, no están contenidos en la confi 1ª.

Entonces actuamos como sigue:

Quitamos los divisores que sí están contenidos marcando con unos corchetes los huecos:

-14,-13,-12,-11,-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1, 0,1,2,[],4,[],6,[],8,9,10,11,12,13,14,[],16,17,18,19,20

Si se pudiera representar como la suma de los divisores, la suma de lo que ha quedado debería dar 21+35=56.

Lo que va a ocurrir al tomar el resto de representaciones es que, para cada configuración, vamos a quitar divisores distintos (unas veces los grande, otras los pequeños, medianos...) y vamos a tener una cantidad de números consecutivos distinta en general para cada configuración. Entonces, la suma restante, quitando los divisores contenidos, tiene que ser igual a la suma de los no contenidos, y como las configuraciones son distintas y hay una por cada centro, se ve muy difícil; parece que tiene que ser imposible que haya más de un divisor impar.

El trasteo de Gemini.

Sobre lo anterior, le he pedido a Gemini que trastee ella:

El Escáner de Intersecciones (105)

Para que la teoría de la "soledad del perfecto" funcione, necesitamos ver si hay algún divisor que sea tan "omnipresente" que aparezca en todas las representaciones. Si no hay ninguno, la estructura del número se desmorona al no tener puntos de apoyo comunes.

Miremos si el divisor está dentro del rango

[ki,ks]

de cada configuración:

... El divisor 3 está en la A, C y E... pero no en las demás.

... El divisor 5 está en la A, C y E... pero no en las demás.

... El divisor 7 está en la A, C y E... pero no en las demás.

... El divisor 15 está en la A, C y F... pero no en las demás.

... El divisor 21 sólo está en la D.

... El divisor 35 sólo está en la B.

¡Resultado demoledor! La intersección de todos los conjuntos de divisores es el conjunto vacío. No hay ni un solo divisor propio de 105 que esté presente en las seis configuraciones.

...

Concatenación y saltos: El desierto numérico

Si intentamos "pegar" todas estas configuraciones por sus extremos para ver si cubren un territorio continuo, nos llevamos una sorpresa. Al ordenar los intervalos por su extremo inferior:

... Configuración A: [-14, 20]

... Configuración D: [19, 23] (aquí hay un pequeño solape)

... Configuración B: [34, 36] (¡SALTO!)

Entre el 23 y el 34 no hay ninguna configuración que cubra ese hueco. El número impar, al no tener una distribución uniforme de divisores, genera "desiertos" en la recta numérica.

...

Densidad de divisores frente a bloques de consecutivos

Aquí es donde la "guerra de divisibilidad" se vuelve imposible de ganar para el número impar. Por un lado, las configuraciones son bloques compactos de números consecutivos (densidad 1). Por otro lado, los divisores de un número impar son pocos, están muy separados y su densidad es "hueca".

Para que la suma de divisores fuera siempre la misma (

2n

) en todos los moldes, los divisores tendrían que estar repartidos de una forma milagrosa para compensar esos huecos y esos saltos. Al final, un número con tantos centros de simetría es un sistema "esquizofrénico" que no puede decidir qué piezas usar para que la cuenta salga siempre igual.

La "soledad" del perfecto no es un capricho, es una necesidad vital para que la aritmética no colapse.

Y, bueno, hasta aquí. Lo principal es ese enfoque de las configuraciones centro-card de números consecutivos que suman el número y su relación con sus divisores.

[Luis Fuentes]

Hola

Así que, postulo (sin demostrar): los números perfectos sólo tienen una representación centro-card, por lo que no pueden ser impares ni pares con más de un divisor impar, dado que éstos tiene al menos dos representaciones centro-card (o bien, en otro caso, son primos, pero los primos no son perfectos de manera obvia).

Para los perfectos pares ya está demostrado. Todos son de la forma $$
2^{p-1}(2^p-1)$$ con $$2^p-1$$ primo impar.

Y para los perfectos impares... si realmente no existen no habría nada que demostrar. 

Lo demás me parecen fuegos artificiales. Es decir no veo de que de ese enfoque se deduzca ningún motivo mínimamente sólido para justificar que no haya perfectos impares.

En cuanto al párrafo de la IA. Esa forma de expresarse queriendo ser coloquial "soledad del perfecto", "guerra de divisiblidad", "colapso de la aritmética"... me da sarpullido. Pero es manía mía...

Saludls.

[feriva]

Hola

Así que, postulo (sin demostrar): los números perfectos sólo tienen una representación centro-card, por lo que no pueden ser impares ni pares con más de un divisor impar, dado que éstos tiene al menos dos representaciones centro-card (o bien, en otro caso, son primos, pero los primos no son perfectos de manera obvia).

Para los perfectos pares ya está demostrado. Todos son de la forma $$
2^{p-1}(2^p-1)$$ con $$2^p-1$$ primo impar.

Y para los perfectos impares... si realmente no existen no habría nada que demostrar. 

Lo demás me parecen fuegos artificiales. Es decir no veo de que de ese enfoque se deduzca ningún motivo mínimamente sólido para justificar que no haya perfectos impares.

En cuanto al párrafo de la IA. Esa forma de expresarse queriendo ser coloquial "soledad del perfecto", "guerra de divisiblidad", "colapso de la aritmética"... me da sarpullido. Pero es manía mía...

Saludls.

De momento no hay nada sólido, no lo he pretendido. He intentado ver más allá, pero con ejemplos particulares no consigo ver cómo llegar a algo que se acerque a una posible generalidad. Sin embargo, por intuición que me viene de mirar eso, postulo (sin demostrar) que no sólo no hay impares, sino que tampoco existen pares con más de un divisor impar (dejando el 1 aparte). Aunque lo de los pares ya esté demostrado, yo no sabía lo del único divisor impar; no sé mucho de la historia de los n perfectos.

Muchas gracias, Luis (a la IA me voy a chivar )

[feriva]

Lo demás me parecen fuegos artificiales. Es decir no veo de que de ese enfoque se deduzca ningún motivo mínimamente sólido para justificar que no haya perfectos impares.

Sí, pero con menos artificio de lo que parece a primera vista; es que no has visto el “trailer” de la película entero porque quedaba muy largo y he dejado de poner algún ejemplo.

Tomo dos configuraciones del ejemplo:

1ª= -14,-13,-12,-11,-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1, 0,1,2,(3),4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20

2ª=34, (35), 36

Los divisores usados son [3, 5, 7, 15, 21, 35] y en la 1ª falta el 35 y el 21. Entonces voy a quitar un mismo divisor a los dos basándome en que son números consecutivos, no de cualquier manera.

Busco que en 1ª existan números $$(a)+(a+1)=35$$; ó $$(a+1)+(a+2)=35$$... o a lo mejor podrían no existir (habría que demostrar que esto no puede ser para todas las configuraciones, quedarían muy “separados” los divisores; pero de momento no sé demostrarlo).

Supongamos que existen, como pasa en el ejemplo: 17+18=35. Entonces los quito de las dos así:

1ª= -14,-13,-12,-11,-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1, 0,1,2,(3),4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,[],[],19,20

2ª=34, [], 36

Si sigo así y un conjunto que da vacío antes que otro, es que el número no es igual a la suma de sus divisores. Si no pasa eso o no puedo vaciarlos mediante consecutivos, tengo tantas configuraciones como divisores, puedo combinarlas.

Sigue sin haber nada sólido, pero sí que, desde el principio, desde que comencé a pensarlo, vi que tenía que intentar usar eso, la consecutividad y el hecho de tener tantas configuraciones como divisores; no tengo nada más que sea “especial” para intentar usar (eso sí que lo tenía en la cabeza; porque un matemático, que se llama Luis, me enseñó que para demostrar algo había que usar las cosas, me enseñó, por ejemplo, que para demostrar UTF para n=3 hay que usar que es una suma de cubos que da un cubo, si no, no se demuestra nada).

Yo no sé sacar más de ahí, y quizá sea muy poco para sacar algo, tal vez ni siquiera sirva para hincar el diente; pero lo cuento por si alguien que sepa más sí puede.

Gracias otra vez.

[feriva]

Hola Luis. Tengo un argumento, mira a ver si está bien.

Sean números arbitrarios separados por varias unidades; los que sea

3...7...11...15...20

Suman 3+7+11+15+20 (no importa el valor concreto).

Vamos a transformar 7,11,15, 20 de manera que sean consecutivos con el 3.

7-3=4

11-6=5

15-9=6

20-13=7

y ahí tenemos las unidades que pierde cada uno al transformarse.

Debemos ahora desplazar el bloque 3,4,5,6,7 sumando k unidades a cada número de manera que ocurra esto

$$3+k+4+k+5+k+6+k+7+k = 3+4+5+6+7+5k= 3+7+11+1+20$$

Es decir, se trata de “empujar” en bloque los números 3,4,5,6,7 hasta encontrar un bloque de cinco números consecutivos mayores que esos y cuya suma recupere el valor original: 3+7+11+15+20.

Supongamos que existe y lo encontramos; ¿si seguimos empujamos el bloque hacia arriba, volveremos a encontrar un bloque que dé la suma 3+7+11+15+20? Creo que no, es imposible, la suma será creciente, el valor de k aumenta y ya no puede volver a dar el mismo valor.

Ah, bueno, que puede cambiar la cantidad de números, ser menor.Pero es un pequeño paso más para ver la cuestión

Muchas gracias.

[feriva]

Sigo con la idea.

Si $$k_{i}=1$$, entonces, $$card=k_{s}-k_{1}+1=k_{s}$$; y así $$k_{s}$$ es, obviamente, divisor de $$n$$

Si $$k_{i}\neq1$$, sólo es divisor de $$n$$ si el conjunto del card tiene números negativos (si no me he equivocado en las cuentas); pero no hace falta considerar esto.

Dado que los impares no primos siempre cuentan con al menos dos configuraciones centro-card, siempre se puede elegir una en la que no existan números negativos; para ello basta con que el valor del centro sea mayor que el valor del card. Y, eligiendo este caso, siempre tendremos $$k_{i}>1$$. Ahora veremos que para analizar la cuestión nos convendrá elegir como centro el divisor más grande.

En ese caso $$k_{s}$$ no es divisor de n; pues si elegimos como centro el divisor propio más grande, el extremo superior, k_{s}es, obviamente, mayor que el divisor más grande; y, por otra parte, es menor que $$n$$, es un divisor propio.

Siendo así, podremos hacer que $$k_{s}-t_{1}$$ sea el divisor más grande; $$k_{s}-1-t_{2}$$ el anterior divisor más grande... y así sucesivamente hasta un “t” final (digamos sub f). La cuenta sería la siguiente (si no me lío con los subíndices)

$$(k_{s}-(f-1)-t_{f})+...+(k_{s}-1-t_{2})+(k_{s}-t_{1})=Suma_{divisores}-t_{1}-t_{2}-...-t_{f}$$

La cuestión es que esas ”tes” van robando lo que le quitan a cada número al número anterior; y al llegar al 1 último ya no podrán robar más. Da la sensación que tendrían que robar de 1 en 1 para poder darse la igualdad... pero no sé.

Le he pedido a Gemini que, basándose en esta idea, lo demostrara con todo el rigor; pero no puede (nada que echarle en cara, porque yo tampoco puedo).

[feriva]

Continúo.

Ejemplo arbitrario con tres filas:

$$\begin{array}{ccccccccccc}
 &  & a & b & g & c_{1} & d & e & f\\
 &  &  & g & h & c_{2} & i & j\\
 &  &  &  & k & c_{3} & l
\end{array}$$

Condición:

$$Suma\;total=a+b+c_{1}+d+...+l$$

$$Suma\;total=3(c_{1}+c_{2}+c_{3})$$

...

Si quito la columna del centro, la suma de los números que quedan en la tabla será:

$$S_{1}=2(c_{1}+c_{2}+c_{3})$$

...

Condición 2:

Si quito cualquier columna de la derecha con la condición de que tenga exactamente tres elementos, entonces quito un valor mayor que
$$(c_{1}+c_{2}+c_{3})$$; por el contrario, si quito una columna de valores positivos en la izquierda, tenga los elementos que tenga (o sea, ya esté completa con tres elementos o no) quito un valor menor que  $$(c_{1}+c_{2}+c_{3})$$. Si son negativos y es completa, quito un valor mayor que
$$ (c_{1}+c_{2}+c_{3}).$$

...

Entonces quito la columna completa de la derecha (d,i,l) y, después de haber quitado también la del centro, me queda

$$S_{2}<(c_{1}+c_{2}+c_{3})$$

He quitado dos columnas y me queda un valor menor que la columna central; eso quiero decir que no puedo quitar la tercera parte de la suma total, $$ Suma\;total=3(c_{1}+c_{2}+c_{3}).$$ Luego la primera condición no se cumple, es falsa para esta tabla.

Condición 3

Los números de cada fila son consecutivos.

Entonces, parece que para que pudiera hacer eso, los números de la tabla (de alguna manera) se tendrían que poder colocar formando un rectángulo de tres columnas: puesto que hay el mismo número de columnas a cada lado; siendo en este caso una por cada lado. En cuanto a la suma, la columna de la derecha es mayor que la del centro y la de la izquierda menor, el exceso y el defecto tienen que sumar lo mismo para contrarrestarse y que la suma sea $$ 3(c_{1}+c_{2}+c_{3})$$. Quizá se pueda hacer con una tabla que no se pueda disponer rectangularmente, pero da mucho (muy mucho)la sensación de que no todos los números podrían ser enteros.

...

Supongamos ahora que tenemos una tabla no rectangular que cumple las condiciones dichas en cuanto a consecutividad y demás pero no cumple la primera condición; ésta: $$Suma\;total=a+b+c_{1}+d+...+l=3(c_{1}+c_{2}+c_{3})$$

Entonces partimos de

$$Suma\;total=a+b+c_{1}+d+...+l\neq3(c_{1}+c_{2}+c_{3}).$$

Como son enteros, existirá un entero que sumado al segundo miembro haga posible la igualdad; pero aquí viene una condición más:

Condición 4:

No se puede llegar a esa perfección añadiendo unidades de una en una.

Si añadimos un sólo elemento a la tabla, éste tiene que estar en el centro y no tener números al lado; sólo podría añadirse el 1 una vez.

Cada número nuevo que se añade se combina con los otros dando lugar a muchas más filas nuevas, todas de una longitud distinta, haciendo que la tabla no crezca de una forma lineal.

Sin embargo, si existe un número perfecto con varias configuraciones, en teoría existe otro menor (cualquier otro) tal que añadiendo unidades de una en una tendríamos que llegar a ese número perfecto.

Como dije al principio del post, los únicos números perfectos conocidos sólo soportan una configuración, una sola fila y un solo centro; y ahí, repitiendo en la tabla la misma fila (la única posible) sí se puede quitar el centro $$c$$ una cierta cantidad de $$k$$ veces, de manera que se compensen las columnas de los lados al quitarlas.

Aunque no sea matemático, ya llevo mucho tiempo por aquí y conozco por encima muchas cosas; y no sé por qué me da que esto se parece a un problema P Vs NP .

[feriva]

Demostración estética de por qué no existen los perfectos impares.

Para empezar, tomemos el ejemplo que ya teníamos por ahí para el impar 105; sus centro-card se pueden poner en una matriz como vectores:

Los centro-card de 105 eran estos:

-14,-13,-12,-11,-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1, 0,1,2,(3),4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20

.....................................5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, (5), 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

.......................................................0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, (7), 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14

................................................................12, 13, 14, (15), 16, 17, 18

.......................................................................19, 20, (21), 22, 23

..............................................................................34, (35), 36

Siendo la cantidad de divisores propios pares al quitar el uno, quizá se podrían repartir los papeles entre variables y coeficientes, pero, al ser números consecutivos, nos encontramos con el problema de la coprimalidad; necesitamos siempre el 1 como factor común en las transformaciones y el cero como “comodín”.

Pero no es ése el problema, el 1 es de la familia, pero el 2 no; son números consecutivos, y esto implica necesariamente que los pares están presentes.

Por ejemplo, veamos esto:

$$(1,2,3,4,5,6,7)=a(1,0,0,0,0,0)+b(0,1,0,0,0,0)+c(0,0,1,0,0,0)+d(0,0,0,1,0,0)+f(0,0,0,0,1,0)+g(0,0,0,0,0,1)$$

Tenemos como base la canónica y a los parámetros les podemos dar los propios valores del vector, 1,2,3,4,5,6,7); sus componentes. El producto escalar nos da 28, la suma de sus divisores, es perfecto... ¿Pero podría serlo sin el divisor 2?

Pensemos en esto otro:

$$(-3-2,-1,0,1,2,3)=a(1,0,0,0,0,0)+b(0,1,0,0,0,0)+c(0,0,1,0,0,0)+d(0,0,0,1,0,0)+f(0,0,0,0,1,0)+g(0,0,0,0,0,1)$$

También es “perfecto”, el producto escalar es cero, la suma de sus componentes, son vectores perpendiculares. Pero al cero le pasa como al 2, no divide a nadie de la familia, no divide a ningún impar (ni a nadie, dicho más en general).

Los perfectos impares no existen porque no pueden existir en el “espacio vectorial perfecto”.

Q.E.D.E

*(Q.E.D Estético).

Spoiler

Es broma, pero da qué pensar...

[cerrar]

[Luis Fuentes]

Hola

 He leído y releído lo que haces y todavía soy incapaz de entender como relacionas tus configuraciones "centro-card" con la existencia o no de números perfectos.

 No sé que tiene que ver una cosa con la otra. No es ya que sea riguroso o no; es que no le veo ni pies ni cabeza.

 Hablas de cosas como:

, nos encontramos con el problema de la coprimalidad

 ¿"problema" para conseguir qué cosa y por qué?.

 Sospecho que tienes en la cabeza que si son perfectos de tus configuraciones cuya suma  es el número inicial debería de poder "pasarse" (no se muy bien con que criterio y a cuento de que) a la suma de divisores o algo así. Me parece algo totalmente arbitrario.

Saludos.

[feriva]

Hola

 He leído y releído lo que haces y todavía soy incapaz de entender como relacionas tus configuraciones "centro-card" con la existencia o no de números perfectos.

 No sé que tiene que ver una cosa con la otra. No es ya que sea riguroso o no; es que no le veo ni pies ni cabeza.

 Hablas de cosas como:

, nos encontramos con el problema de la coprimalidad

 ¿"problema" para conseguir qué cosa y por qué?.

Hola, Luis.

Bueno, “problema”, entre comillas; digamos manía mía.

Yo quiero evitar el 1 porque en las configuraciones tomo sólo los divisores propios sin el 1; por qué, pues porque son triviales y lo considero así, no te puedo dar un porqué justificable; no estoy demostrando nada, estoy intuyendo cosas que ni sé cómo pueden acabar.

Entonces, si yo tomo esta configuración, por ejemplo,

$$(34,35,36)$$

puedo descomponer en dos factores sin usar el 1 y obtener dos vectores; así por ejemplo

$$(x,y,z)=(2,5,2)$$; $$(a,b,c)=(17,7,18)$$.

Pero si hay un primo ya tengo que usar el 1 en uno de los vectores.

En cuanto a la coprimalidad la que no me gusta es la que existe entre el 2 y los impares, no la coprimalidad en general, la coprimalidad entre 35 y 9, por ejemplo, no me importa, no es ésa la que decía.

Sospecho que tienes en la cabeza que si son perfectos de tus configuraciones cuya suma  es el número inicial debería de poder "pasarse" (no se muy bien con que criterio y a cuento de que) a la suma de divisores o algo así. Me parece algo totalmente arbitrario.

No directamente pero sí indirectamente (aunque tampoco tengo claro del todo que no puedan ser impares; eso es lo que estoy intentando ver).

Si la cantidad de divisores de un número $$n$$ es $$\tau(n)$$ yo tomo $$\tau(n)-2$$,  la cantidad de configuraciones es ésa, $$\tau(n)-2$$, así que la suma de todos los elementos de la tabla es $$(\tau(n)-2)\cdot (\sigma(n)-n)$$ (en el caso hipotético que se pretende demostrar absurdo) ; y eso es lo que estoy intentando usar.

Muchas gracias, Luis.