[JoseOmar]

Hola a todos,

He estado explorando una función definida sobre números primos que me ha llevado a una conjetura que quizás resulte de interés. Os la comparto por si alguien quiere echarle un vistazo y darme su opinión.

Definición de la función
Sea \( p \) un número primo. Definimos \( f(p) \) de la siguiente manera:

· Si \( p = 2 \), entonces \( f(2) = 2 \).
· Si \( p > 2 \), calculamos \( 3p + 1 \), eliminamos todos los factores \( 2 \) hasta obtener un número impar \( m \).
  · Si \( m = 1 \), entonces \( f(p) = 2. \)
  · Si \( m > 1 \), entonces \( f(p) \) es el menor factor primo de \( m. \)

Observación: El caso \( m = 1 \) ocurre cuando \( 3p+1 \) es una potencia de \( 2 \) (por ejemplo, \( p = 5 \) da 16).

Resultados obtenidos
He comprobado computacionalmente que para todos los primos hasta \( 20 \) millones (más de \( 1.270.000 \) primos), iterando \( f \) siempre se alcanza el valor \( 2 \). El máximo número de pasos observado fue 17, correspondiente al primo 89599

Además, he demostrado algunos teoremas:

· Teorema 1: Si \( p \) termina en \( 3 \) (es decir, \( p = 10k + 3 \)), entonces \( f(p) = 5 \).
· Teorema 2: Existen infinitas familias de primos para las cuales \( f(p) = 7 \). Por ejemplo, los primos de la forma \( p = 10k + 1 \) con \( k \equiv 5 \) (módulo \( 7 \)), etc.
· Teorema 3 (general): Para cualquier primo \( q \) distinto de \( 3 \), existen infinitos primos \( p \) tales que \( f(p) = q \). Esto se demuestra usando el teorema chino del resto y el teorema de Dirichlet.

Artículo
He publicado un artículo con todos los detalles y el código en Zenodo. Aquí está el enlace:
https://zenodo.org/records/18796391

Conjetura
Todo esto sugiere la siguiente conjetura, que he llamado Conjetura de Collatz-delToro:

Para todo número primo \( p \), la sucesión definida por \( p_0 = p \) y \( p_{n+1} = f(p_n) \) alcanza el valor \( 2 \) en un número finito de pasos.

¿Qué opináis?
Me encantaría conocer vuestra opinión, si alguien ha visto algo similar, si hay posibles contraejemplos (aunque la evidencia numérica es muy fuerte) o si creéis que podría haber alguna relación con otros problemas conocidos (Collatz, números perfectos, etc.). Cualquier comentario, crítica o sugerencia será bienvenida.

Muchas gracias por vuestro tiempo.

Un saludo,
JoseOmar

[Luis Fuentes]

Hola

  Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Hola a todos,

He estado explorando una función definida sobre números primos que me ha llevado a una conjetura que quizás resulte de interés. Os la comparto por si alguien quiere echarle un vistazo y darme su opinión.

Definición de la función
Sea \( p \) un número primo. Definimos \( f(p) \) de la siguiente manera:

· Si \( p = 2 \), entonces \( f(2) = 2 \).
· Si \( p > 2 \), calculamos \( 3p + 1 \), eliminamos todos los factores \( 2 \) hasta obtener un número impar \( m \).
  · Si \( m = 1 \), entonces \( f(p) = 2. \)
  · Si \( m > 1 \), entonces \( f(p) \) es el menor factor primo de \( m. \)

Observación: El caso \( m = 1 \) ocurre cuando \( 3p+1 \) es una potencia de \( 2 \) (por ejemplo, \( p = 5 \) da 16).

Resultados obtenidos
He comprobado computacionalmente que para todos los primos hasta \( 20 \) millones (más de \( 1.270.000 \) primos), iterando \( f \) siempre se alcanza el valor \( 2 \). El máximo número de pasos observado fue 17, correspondiente al primo 89599

Además, he demostrado algunos teoremas:

· Teorema 1: Si \( p \) termina en \( 3 \) (es decir, \( p = 10k + 3 \)), entonces \( f(p) = 5 \).
· Teorema 2: Existen infinitas familias de primos para las cuales \( f(p) = 7 \). Por ejemplo, los primos de la forma \( p = 10k + 1 \) con \( k \equiv 5 \) (módulo \( 7 \)), etc.
· Teorema 3 (general): Para cualquier primo \( q \) distinto de \( 3 \), existen infinitos primos \( p \) tales que \( f(p) = q \). Esto se demuestra usando el teorema chino del resto y el teorema de Dirichlet.

 He revisado lo que has hecho y estoy de acuerdo con todo.

 La conjetura parece cierta y los teoremas que indicas están bien demostrados.

 Desconozco si hay algo exactamente así en la literatura, pero tampoco soy un experto en teoría de números.

 Es un resultado parecido a la conjetura de Collatz; a priori parece un poco más fácil de demostrar porque si \( (3p+1)/2 \) no es primo su menor factor primo impar va a ser menor que \( p \), ya que \( \sqrt{(3p+1)/2}<p \) si \( p>2 \). Esto no es nada concluyente ni mucho menos. Este tipo de resultados son muy escurridizos a veces.

Saludos.

[JoseOmar]

Hola

  Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Hola a todos,

He estado explorando una función definida sobre números primos que me ha llevado a una conjetura que quizás resulte de interés. Os la comparto por si alguien quiere echarle un vistazo y darme su opinión.

Definición de la función
Sea \( p \) un número primo. Definimos \( f(p) \) de la siguiente manera:

· Si \( p = 2 \), entonces \( f(2) = 2 \).
· Si \( p > 2 \), calculamos \( 3p + 1 \), eliminamos todos los factores \( 2 \) hasta obtener un número impar \( m \).
  · Si \( m = 1 \), entonces \( f(p) = 2. \)
  · Si \( m > 1 \), entonces \( f(p) \) es el menor factor primo de \( m. \)

Observación: El caso \( m = 1 \) ocurre cuando \( 3p+1 \) es una potencia de \( 2 \) (por ejemplo, \( p = 5 \) da 16).

Resultados obtenidos
He comprobado computacionalmente que para todos los primos hasta \( 20 \) millones (más de \( 1.270.000 \) primos), iterando \( f \) siempre se alcanza el valor \( 2 \). El máximo número de pasos observado fue 17, correspondiente al primo 89599

Además, he demostrado algunos teoremas:

· Teorema 1: Si \( p \) termina en \( 3 \) (es decir, \( p = 10k + 3 \)), entonces \( f(p) = 5 \).
· Teorema 2: Existen infinitas familias de primos para las cuales \( f(p) = 7 \). Por ejemplo, los primos de la forma \( p = 10k + 1 \) con \( k \equiv 5 \) (módulo \( 7 \)), etc.
· Teorema 3 (general): Para cualquier primo \( q \) distinto de \( 3 \), existen infinitos primos \( p \) tales que \( f(p) = q \). Esto se demuestra usando el teorema chino del resto y el teorema de Dirichlet.

 He revisado lo que has hecho y estoy de acuerdo con todo.

 La conjetura parece cierta y los teoremas que indicas están bien demostrados.

 Desconozco si hay algo exactamente así en la literatura, pero tampoco soy un experto en teoría de números.

 Es un resultado parecido a la conjetura de Collatz; a priori parece un poco más fácil de demostrar porque si \( (3p+1)/2 \) no es primo su menor factor primo impar va a ser menor que \( p \), ya que \( \sqrt{(3p+1)/2}<p \) si \( p>2 \). Esto no es nada concluyente ni mucho menos. Este tipo de resultados son muy escurridizos a veces.

Saludos.

Muchas gracias por tu tiempo y por tus comentarios. Me alegra mucho que consideres que las demostraciones son correctas. Tomo nota de tu observación sobre la raíz cuadrada, es una idea que no había considerado. Agradezco cualquier otra sugerencia que puedas tener
¡Saludos!