Hola
Algo que es demostrable es que un número perfecto impar sería un número no divisible por $$2$$ que además es la mitad de un triperfecto.
Si, eso es bien conocido.
- Un número \( n \) es perfecto si la suma \( \sigma(b) \) de TODOS sus divisores es \( 2n \).
- Un número \( n \) es \( 3 \)-perfecto si la suma \( \sigma(b) \) de TODOS sus divisores es \( 3n \).
Si \( n \) es perfecto impar los divisores de \( 2n \) son todos los de \( n \) y además el doble de todos ellos. Por tanto:
\( \sigma(2n)=\sigma(n)+2\sigma(n)=3\sigma(n)=3\cdot (2n) \)
y así \( 2n \) es \( 3 \)-perfecto.
Saludos.
Y entonces por qué eso no se incluye generalmente en las condiciones que debería cumplir un perfecto impar?
He leído muchas características que deberían cumplir los perfectos impares, pero nunca he encontrado esto como condición. Y de hecho es una forma muy precisa de señalar las posibles ubicaciones de un perfecto impar.
Con esto, demostrar que un $$3-perfecto$$ es al menos divisible por $$4$$ es equivalente a demostrar la inexistencia de los perfectos impares, verdad? Aunque no supone mayor facilidad para hacerlo, de hecho debe tener la misma complejidad.
Si $$n$$ es perfecto impar, entonces
$$gdc(2,n)=1$$
luego
$$\sigma(2n)=\sigma(2)\cdot\sigma(n)$$
como $$n$$ es perfecto, $$\sigma(n)=2n$$, entonces
$$\sigma(2n)=3\cdot 2n=6n$$
\[\frac{6n}{2n}=3\]
$$2n$$ es $$3-perfecto$$.
Entonces, la suma de divisores de un número perfecto impar, es un número $$3$$-perfecto. Esto restringe demasiado el espacio de búsqueda, pero sobre los $$3$$-perfectos la restricción modular parece más evidente que cuando buscamos impares perfectos.
Saludos
