Buscando información para entender otro hilo llegue a la Wikipedia para entender a los números p-ádicos y me encuentro esto
cito a la Wikipedia https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_p-%C3%A1dico
==Expansión ''p''-ádica de los números racionales==
La representación decimal de un número racional $$r$$ positivo es su representación como Serie (matemática)
$$r= \sum_{i=k}^\infty a_i 10^{-i},$$
¿Por qué aparece el infinito de la fórmula...? de $$k$$ entiendo que puede ser 1 y puedo entender que $$1/3$$ se pueda representar $$0,\bar{3}$$ 'infinitas cifras 3'
Porque el número de cifras decimales puede ser infinito, como tú mismo dices al considerar \( 1/3 \). Entonces, puedes considerar que siempre es infinito, incluso en el caso de \( 1/2 \), si entiendes que los \( a_i \) son todos iguales a \( 0 \) a partir de un término si el número de cifras decimales es finito.
pero que diferencia habría en representar del mismo modo a un irracional.
Ninguna. Es que el artículo de la wikipedia quiere hablar de desarrollos decimales de números racionales (que valen igualmente para números reales) para luego pasar a hablar de desarrollos p-ádicos de números racionales (que no tendrían sentido para números irracionales). Por eso habla sólo de números racionales.
Esa fórmula representa cualquier número entre 0 y 1 , entendiendo que $$0,\bar{9}\equiv1$$
No, ojo. Esa fórmula permite respresentar cualquier número real, no necesariamente entre 0 y 1, porque dice que \( k \) es un número entero, tal vez negativo. Por ejemplo, el número \( 1000 \) se representa de esa forma con \( k = -3 \), \( a_{-3} = 1 \) y los demás coeficientes nulos.
