[feriva]

En general, consideraré números simétricos respecto de un número “n”, tales que $$(n-k)+(n+k)=2n$$, para $$k\in[0,n]$$.

Por ejemplo, si n=11, vamos teniendo $$(11-0)+(11+0)=22$$; $$(11-1)+(11+1)=22$$... y así hasta llegar a $$(11-11)+(11+11)=22$$.

Sean $$p=n-k$$ y $$c=n+k$$ números simétricos genéricos.

La cantidad de números $$Ca$$ entre $$p$$ y $$c$$, ambos incluidos, vendrá dada por

$$Ca=c-p+1$$, o, en función de k, también así $$Ca=2k+1$$.

Por otra parte, podemos expresar $$c$$ en función de $$p$$ y $$k$$ así:

$$c=2k+p$$

Para lo que sigue, voy a considerar p,c primos los dos, con p=3 constante; e iremos dando valores a k, $$k=0,1,2,3...$$ a $$k$$ para obtener el valor de $$c$$ a partir de la igualdad $$c=2k+p$$.

Entonces se observa que, cuando la cantidad de números entre p y c, ambos incluidos (o sea, el cardinal $$Ca=card\{[p_{i},c_{i}]\}$$) viene dada para un número primo, siempre se encuentra que $$c_i$$ y el anterior $$c_{i-1}$$, son primos gemelos.

Ejemplo:

$$ k=0;c=3 $$

$$k=1; c=5$$

$$k=2; c=7$$

(k igual 3 no da c primo)

$$k=4; c=11$$

$$k= 5; c=13$$

(para k= 6 no obtenemos un primo c, pues resulta c=15)

$$k=7; c=17$$

etc.

Vemos, por ejemplo, que con k=2 tenemos c=7, y el c anterior, con k=1, es 5, su primo gemelo. Esto es lo que se observa siempre que se dan las condiciones descritas para dos primos simétricos p,c. Además, también se aprecia que para los sucesivos k encontramos todos los primos gemelos, sin faltar ninguno.

Ocurre sencillamente que si $$c$$ y $$Ca$$ son primos, entonces $$Ca=c-3+1=c-2$$, Ca es primo gemelo de c, no tiene mayor demostración.

Y ahí tenemos los pares Goldbach $$(3,c)$$ (con c primo) tales que la cantidad de números que hay en [3,c] viene dada por un primo.

[RH]

Me ha parecido interesante tu observación, por ello:

He analizado por curiosidad 1/k, a ver qué pasa.

1. Definición de la Métrica
Si definimos k como el conjunto de distancias exitosas para un n dado, la suma de los inversos es:

\( S_{G}(n) = \sum_{k \in K} \frac{1}{k} \quad \text{donde} \quad {n-k, n+k} \subset \mathbb{P} \)

2. Comportamiento en el Infinito
A diferencia de la serie armónica natural que diverge, este sumatorio para un n fijo es finito. Sin embargo, al analizar su comportamiento cuando \( n\rightarrow{\infty} \):

Densidad de Probabilidad: La probabilidad de que una distancia k  sea un "éxito" de Goldbach es aproximadamente \( \displaystyle\frac{1}{ln^2n} \).
Valor Esperado: El valor del sumatorio se comporta como:

\( E[S_{G}(n)] \approx \frac{1}{\ln^2 n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \approx \frac{\ln n}{\ln^2 n} = \frac{1}{\ln n} \)

3. Conclusiones Clave

Atenuación logarítmica: A medida que n crece, el valor del sumatorio \( S_{G}(n) \) tiende a disminuir siguiendo la curva \( \displaystyle\frac{1}{ln(n)} \) . Esto indica que, aunque hay más parejas de Goldbach, estas se encuentran proporcionalmente más lejos del centro n (valores de k grandes).

Puntos Críticos: Si para algún \( 2n \) este sumatorio fuera exactamente \( 0 \), la Conjetura de Goldbach fallaría. La métrica \( \displaystyle\frac{1}{k} \) actúa como un "termómetro" de la salud de la conjetura en cada número par.

Peso de la Proximidad: Tu fórmula penaliza las soluciones de Goldbach donde los primos están cerca de los extremos \( [1,2n] \) y premia aquellas donde los primos están cerca del centro n.

A lo mejor le sacas a esto algo de jugo.

Añado:

Spoiler

Informe de Investigación: Métrica de Simetría de Goldbach
1. Definición del Sistema Simétrico
Para cualquier número par \(  2n  \), establecemos un centro \(  n  \). La búsqueda de parejas de Goldbach se define mediante la localización de una distancia \(  k  \) tal que:
\(  (n - k) + (n + k) = 2n  \)
Donde los componentes simétricos son \(  p = n - k  \) y \(  c = n + k  \). La condición para que se cumpla la conjetura es que exista al menos un \(  k  \) en el intervalo \(  [0, n-1]  \) tal que \(  p  \) y \(  c  \) pertenezcan al conjunto de los números primos \(  \mathbb{P}  \).
2. La Métrica del Sumatorio de Inversos
Se propone estudiar la densidad de soluciones mediante el sumatorio de los inversos de las distancias \(  k  \) exitosas:
\(  S_G(n) = \sum_{k \in K} \frac{1}{k}  \)
Donde el conjunto \(  K  \) contiene todos los valores de \(  k  \) que generan una pareja de primos. Esta métrica asigna un peso de \(  1  \) cuando \(  k=1  \) (distancia mínima) y pesos decrecientes proporcionalmente a \(  1/k  \) a medida que los primos se alejan del centro \(  n  \).
3. Análisis de Probabilidad y Tendencia
Basándonos en el Teorema de los Números Primos, la probabilidad de que una distancia \(  k  \) sea un éxito es aproximadamente:
\(  P(k) \approx \frac{1}{\ln^2 n}  \)
Al aplicar el sumatorio de la métrica a todos los valores posibles de \(  k  \), el valor esperado \(  E  \) del sumatorio se comporta como:
\(  E[S_G(n)] \approx \frac{1}{\ln^2 n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}  \)
Dado que el sumatorio armónico \(  \sum 1/k  \) se aproxima a \(  \ln n  \), la tendencia simplificada es:
\(  E[S_G(n)] \approx \frac{\ln n}{\ln^2 n} = \frac{1}{\ln n}  \)
4. Implicaciones para la Prueba de la Conjetura
Para demostrar que la Conjetura de Goldbach es siempre cierta, es suficiente probar que:
\(  S_G(n) > 0  \) para todo \(  n > 1  \).
La estructura de la prueba analítica se basa en demostrar que el margen de error \(  \Delta(n)  \) nunca es lo suficientemente grande como para anular el valor esperado:
\(  S_G(n) = \frac{1}{\ln n} \pm \Delta(n)  \)
Como el número de intentos \(  k  \) crece de forma lineal mientras que la probabilidad decrece de forma logarítmica, la probabilidad de que el sumatorio sea exactamente \(  0  \) tiende a \(  0  \) cuando \(  n  \) tiende a infinito.
5. Conclusión de la Métrica
El uso del sumatorio \(  1/k  \) aplicado a la simetría de Goldbach permite cuantificar la robustez de un número par. Los resultados sugieren que la existencia de parejas de primos no es un evento fortuito, sino una consecuencia inevitable de la densidad de distribución de los primos, que garantiza que \(  S_G(n)  \) nunca colapse.

[cerrar]

[Luis Fuentes]

Hola

En general, consideraré números simétricos respecto de un número “n”, tales que $$(n-k)+(n+k)=2n$$, para $$k\in[0,n]$$.

Por ejemplo, si n=11, vamos teniendo $$(11-0)+(11+0)=22$$; $$(11-1)+(11+1)=22$$... y así hasta llegar a $$(11-11)+(11+11)=22$$.

Sean $$p=n-k$$ y $$c=n+k$$ números simétricos genéricos.

La cantidad de números $$Ca$$ entre $$p$$ y $$c$$, ambos incluidos, vendrá dada por

$$Ca=c-p+1$$, o, en función de k, también así $$Ca=2k+1$$.

Por otra parte, podemos expresar $$c$$ en función de $$p$$ y $$k$$ así:

$$c=2k+p$$

Para lo que sigue, voy a considerar p,c primos los dos, con p=3 constante; e iremos dando valores a k, $$k=0,1,2,3...$$ a $$k$$ para obtener el valor de $$c$$ a partir de la igualdad $$c=2k+p$$.

Entonces se observa que, cuando la cantidad de números entre p y c, ambos incluidos (o sea, el cardinal $$Ca=card\{[p_{i},c_{i}]\}$$) viene dada para un número primo, siempre se encuentra que $$c_i$$ y el anterior $$c_{i-1}$$, son primos gemelos.

Ejemplo:

$$ k=0;c=3 $$

$$k=1; c=5$$

$$k=2; c=7$$

(k igual 3 no da c primo)

$$k=4; c=11$$

$$k= 5; c=13$$

(para k= 6 no obtenemos un primo c, pues resulta c=15)

$$k=7; c=17$$

etc.

Vemos, por ejemplo, que con k=2 tenemos c=7, y el c anterior, con k=1, es 5, su primo gemelo. Esto es lo que se observa siempre que se dan las condiciones descritas para dos primos simétricos p,c. Además, también se aprecia que para los sucesivos k encontramos todos los primos gemelos, sin faltar ninguno.

Ocurre sencillamente que si $$c$$ y $$Ca$$ son primos, entonces $$Ca=c-3+1=c-2$$, Ca es primo gemelo de c, no tiene mayor demostración.

Y ahí tenemos los pares Goldbach $$(3,c)$$ (con c primo) tales que la cantidad de números que hay en [3,c] viene dada por un primo.

Me despistaba al principio que parecía que lo hacías para \( p \) primo cualquiera. Pero fijado \( p=3 \).. si es un poco obvio todo.

Dices que si \( c \) es primo la longitud del intervalo \( [3,c] \) es otro primo si y sólo si \( c \) es el mayor de un par de primos gemelos. ¡Pues claro: la longitud del intervalo es \( c-3+1=c-2 \)!. O sea estás diciendo que si \( c \) es primo, entonces \( c-2 \) es primo si y sólo si \( c \) es el mayor de un par de primos gemelos. 

Me ha parecido interesante tu observación, por ello:

He analizado por curiosidad 1/k, a ver qué pasa.

1. Definición de la Métrica
Si definimos k como el conjunto de distancias exitosas para un n dado, la suma de los inversos es:

\( S_{G}(n) = \sum_{k \in K} \frac{1}{k} \quad \text{donde} \quad {n-k, n+k} \subset \mathbb{P} \)

2. Comportamiento en el Infinito
A diferencia de la serie armónica natural que diverge, este sumatorio para un n fijo es finito. Sin embargo, al analizar su comportamiento cuando \( n\rightarrow{\infty} \):

Densidad de Probabilidad: La probabilidad de que una distancia k  sea un "éxito" de Goldbach es aproximadamente \( \displaystyle\frac{1}{ln^2n} \).
Valor Esperado: El valor del sumatorio se comporta como:

\( E[S_{G}(n)] \approx \frac{1}{\ln^2 n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \approx \frac{\ln n}{\ln^2 n} = \frac{1}{\ln n} \)

3. Conclusiones Clave

Atenuación logarítmica: A medida que n crece, el valor del sumatorio \( S_{G}(n) \) tiende a disminuir siguiendo la curva \( \displaystyle\frac{1}{ln(n)} \) . Esto indica que, aunque hay más parejas de Goldbach, estas se encuentran proporcionalmente más lejos del centro n (valores de k grandes).

Puntos Críticos: Si para algún \( 2n \) este sumatorio fuera exactamente \( 0 \), la Conjetura de Goldbach fallaría. La métrica \( \displaystyle\frac{1}{k} \) actúa como un "termómetro" de la salud de la conjetura en cada número par.

Peso de la Proximidad: Tu fórmula penaliza las soluciones de Goldbach donde los primos están cerca de los extremos \( [1,2n] \) y premia aquellas donde los primos están cerca del centro n.

A lo mejor le sacas a esto algo de jugo.

O quizá no. Recuerda que esto no es tu bloc de notas.

Saludos.

[feriva]

Me despistaba al principio que parecía que lo hacías para \( p \) primo cualquiera. Pero fijado \( p=3 \).. si es un poco obvio todo.

Dices que si \( c \) es primo la longitud del intervalo \( [3,c] \) es otro primo si y sólo si \( c \) es el mayor de un par de primos gemelos. ¡Pues claro: la longitud del intervalo es \( c-3+1=c-2 \)!. O sea estás diciendo que si \( c \) es primo, entonces \( c-2 \) es primo si y sólo si \( c \) es el mayor de un par de primos gemelos. 

Claro. Ya había puesto en el título "quizá tonta"
 Que la cantidad de números en el intervalo simétrico venga dada por un valor primo me ha llamado la atención. Si en vez de p=3=cts tomamos p=5 con las mismas condiciones, Ca y c primos, entonces la distancia es 4, si p= 7, la distancia es 6... etc. No sé, a mí me ha parecido que había "algo" ahí.

Gracias, Luis.

[Luis Fuentes]

Hola

Claro. Ya había puesto en el título "quizá tonta"
 Que la cantidad de números en el intervalo simétrico venga dada por un valor primo me ha llamado la atención. Si en vez de p=3=cts tomamos p=5 con las mismas condiciones, Ca y c primos, entonces la distancia es 4, si p= 7, la distancia es 6... etc. No sé, a mí me ha parecido que había "algo" ahí.

Si claro, la distancia siempre es \( p-1 \); no se que puede haber de llamativo ahí.

Si tomas un primo \( p \) cualquiera y \( c \) es primo, y \( c_a=c-p+1 \) es primo, lo que tienes son primos \( (c_a,c) \) que distan en \( p-1 \) unidades.

Pero de nuevo no es nada raro que eso ocurra (cuando ocurre  ) porque se conjetura que dada cualquier distancia par \( 2k \) existen infinitos pares de primos a esa distancia (conjetura de Polignac).

Saludos.

[feriva]

Hola

Claro. Ya había puesto en el título "quizá tonta"
 Que la cantidad de números en el intervalo simétrico venga dada por un valor primo me ha llamado la atención. Si en vez de p=3=cts tomamos p=5 con las mismas condiciones, Ca y c primos, entonces la distancia es 4, si p= 7, la distancia es 6... etc. No sé, a mí me ha parecido que había "algo" ahí.

Si claro, la distancia siempre es \( p-1 \); no se que puede haber de llamativo ahí.

Si tomas un primo \( p \) cualquiera y \( c \) es primo, y \( c_a=c-p+1 \) es primo, lo que tienes son primos \( (c_a,c) \) que distan en \( p-1 \) unidades.

Pero de nuevo no es nada raro que eso ocurra (cuando ocurre  ) porque se conjetura que dada cualquier distancia par \( 2k \) existen infinitos pares de primos a esa distancia (conjetura de Polignac).

Saludos.

Por ahí iba la cosa precisamente, por conectar la de Goldbach con la de Polignac de una forma "visual"; no hay implicación ni nada así, ya lo sé, era sólo eso, un esquema.

Muchas gracias, Luis.