Hola a todos!
Trabajando con el mapa reducido de Collatz
\[
T(n)=\frac{3n+1}{2^{\nu_2(3n+1)}}, \quad n \text{ impar}
\]
Está versión condensa todas las divisiones tras el paso impar, por lo es equivalente al mapa clásico.
Todo impar puede escribirse como
\[n=6t+r, \quad r\in\{1,3,5\}\]
Como
\[3n+1\,\equiv \, 1 \pmod 3,\]
ninguna imagen reducida es múltiplo de $$3$$.
Pero, teniendo en cuenta que pueden ser valores iniciales, analicemos lo que pasa:
\[3n+1\,=\,3(6t+r)+1\,=\,18t+3r+1.\]
Como $$3r+1=4,10,16$$ según $$r=1,3,5$$, en todos los casos se obtiene
\[3n+1 \equiv \, 4 \pmod 6.\]
Por lo tanto, la dinámica efectiva queda restringida a las clases
\[n\equiv\pm1\pmod6.\]
Como $$3n+1=18t+3r+1$$ y eso siempre es $$\equiv 4 \pmod 6$$, entonces existe un entero $$t'$$ tal que
\[3n+1=6t'+4\]
de hecho
\[t'=\frac{3n-3}{6}=\frac{n-1}{2}\]
porque
\[3n+1=6\left(\frac{n-1}{2}\right)+4\]
Por lo tanto, en cada paso impar el numerador siempre tiene la forma
\[3n+1=6t'+4.\]
Ahora podemos reescribir el numerador como:
\[3n+1=6t'+4, \quad t'=\frac{n-1}{2}\]
Por lo tanto
\[T(n)=\frac{6t'+4}{2^{\nu_2(6t'+4)}}, \quad t' \in \mathbb{N}_0\]
Es decir: cada paso impar del mapa reducido está gobernado por la valuación $$2-ádica$$ del único tipo de entero $$6t'+4$$, y el tamaño real del paso queda completamente descrito por el cociente
\[\frac{6t'+4}{2^{\nu_2(6t'+4)}}\].
El "componente arquimediano" del paso queda condensado en el factor real
\[\lambda(t'):=\frac{6t'+4}{2^{\nu_2(6t'+4)}}\]
Toda la información relevante del paso está contenida en la estructura $$6t'+4$$ y su valuación $$2-ádica$$.
Para mostrar como $$\nu_2(6t'+4)$$ contiene la información de las sucesivas divisiones, simplemente factorizamos...
\[\nu_2(6t'+4)\,=\,\nu_2(2\times(3t'+2))\,=\,1+\nu_2(3t'+2)\]
Expresamente obtuvimos que siempre existe al menos una división luego de hacer $$3n+1$$.
Pero podemos ir más allá y mostrar como esto es arquimediano:
Observemos que:
\[\nu_2(6t'+4) = k \Longleftrightarrow 6t'+4\equiv 0 \pmod {2^k} \quad y \quad 6t'+4\not\equiv 0 \pmod {2^{k+1}}\]
lo que equivale a
\[6t'\equiv -4\pmod {2^k} \quad y \quad 6t'\not\equiv -4\pmod {2^{k+1}} \]
esto determina una única clase de $$t'$$ módulo $$2^{k}$$.
De hecho es muy facil determinar las clases.
\[t'\equiv 1 \pmod 2 \Longrightarrow k=1\]
\[t'\equiv 0 \pmod 4 \Longrightarrow k=2\]
\[t'\equiv 6 \pmod 8 \Longrightarrow k=3\]
\[t'\equiv 2 \pmod {16} \Longrightarrow k=4\]
\[t'\equiv 26 \pmod {32} \Longrightarrow k=5\]
\[t'\equiv 10 \pmod {64} \Longrightarrow k=6\]
\[t'\equiv 106 \pmod {128} \Longrightarrow k=7\]
\[t'\equiv 42 \pmod {256} \Longrightarrow k=8\]
\[\dots\]
En conclusión, la valuación $$2-ádica$$ de $$3n+1=6t'+4$$ queda completamente determinada por la clase congruencial de $$t' \pmod {2^k}$$, y esto se cumple para todo
\[t'=\frac{n-1}{2}\]
Bueno, hasta acá llego por hoy.
Espero les guste!
Saludos!
