[MNDK]

Este mensaje se ha separado de aquí.
Bueno, se acabó el misterio. Hermosas secuencias!
Cuento, ya que se cerró el tema, que buscando una solución empecé a probar diferentes configuraciones de numeros que sumen una cifra dada y me encontré con que cuando se multiplican esas diferentes configuraciones las sumatorias de sus cifras siempre acaban en el mismo numero. Ej: para el numero 7: 223 421 511... (todas las configuraciones de tres digitos posibles) multiplicados por n da un numero cuyas cifras suman la misma cantidad (cuando se supera la decena se suman esas tambien). Aparentemente esto es asi para todas las combinaciones siempre y cuando se parta de numeros con la misma cantidad de digitos. ¿Conocen esta propiedad?, ¿tiene nombre?. Probablemente sea algo obvio pero no deja de sorprenderme.
(En el ejemplo, si contamos las decenas como tales, con n=2 las cifras suman 14, con n=3   21, y así).
Disculpen que lo comparta aqui, no se si es "apropiado" (otra vé). Pero surgió a partir de esta busqueda. Cualquier cosa puedo moverlo a otro lado o borrarlo. Saludos! gracias por el desafío

[Luis Fuentes]

Hola

Este mensaje se ha separado de aquí.
Bueno, se acabó el misterio. Hermosas secuencias!
Cuento, ya que se cerró el tema, que buscando una solución empecé a probar diferentes configuraciones de numeros que sumen una cifra dada y me encontré con que cuando se multiplican esas diferentes configuraciones las sumatorias de sus cifras siempre acaban en el mismo numero. Ej: para el numero 7: 223 421 511... (todas las configuraciones de tres digitos posibles) multiplicados por n da un numero cuyas cifras suman la misma cantidad (cuando se supera la decena se suman esas tambien). Aparentemente esto es asi para todas las combinaciones siempre y cuando se parta de numeros con la misma cantidad de digitos. ¿Conocen esta propiedad?, ¿tiene nombre?. Probablemente sea algo obvio pero no deja de sorprenderme.
(En el ejemplo, si contamos las decenas como tales, con n=2 las cifras suman 14, con n=3   21, y así).
Disculpen que lo comparta aqui, no se si es "apropiado" (otra vé). Pero surgió a partir de esta busqueda. Cualquier cosa puedo moverlo a otro lado o borrarlo. Saludos! gracias por el desafío

Pero esto no es siempre así. Por ejemplo las cifras de \( 451 \) suman \( 4+5+1=10 \), pero las cifras de \( 2\dot 451=902 \) suman \( 9+2=11 \) que no es \( 10\cdot 2 \).

Si llamamos \( S(x) \) a la suma de las cifras de \( x \) lo que se cumple siempre es que:

\( S(n\cdot x) \) y \( n\cdot S(x) \) es múltiplo de \( 9 \)

y en algún caso ese múltiplo es precisamente cero y coinciden. Pero no siempre.

Saludos.

P.D. Separé el mensaje del hilo original, que trataba de otra cosa, para mayor claridad.

[MNDK]

Gracias Luis, no se si no te estoy entendiendo o si me expliqué mal. Voy a intentar ser mas claro para ver si me estoy perdiendo algo. Lo que digo: yo parto de un numero, (con el proposito de la simplicidad voy a elegir un numero pequeño: 5). Lo primero que me pregunto es ¿que sumatorias producen este numero?. De dos cifras 2+3, 1+4. De tres cifras 1+1+3, 2+1+2. Lo que hago es tomar esos numeros y expresarlos como si fuesen numeros enteros en todas las combinaciones posibles: 23 14 32 41 y para los de tres digitos 113  131  311 212 221 122. De estos resultados solo me quedo con una serie (la de dos cifras o la de tres). Voy a elegir la tres y multiplico cada uno por 2 (tambien para simplificar). me queda 226 262 611 424 442 244 y si sumo sus "integrantes" obtengo siempre 1 (cuando el numero resultante tiene mas de una cifra). En esta combinacion en particular todo se mantiene dentro de la obviedad, porque las cifras individuales iniciales eran todas menores a \( 10/2 \) y porque elegimos \( n=2 \) para la multiplicacion. Lo que aparenta es que esta propiedad se mantiene para todos los numeros en todas sus combinaciones, para todos los valores de \( n=Z+ \). Repito, es probable que sea algo obvio pero que no percibo como tal. Por otro lado, si en tu contraejemplo me has mostrado que esto no es asi, entonces es que no lo estoy entendiendo.

[Luis Fuentes]

Hola

 Pero has cambiado lo que dices. Ahora indicas que:

Gracias Luis, no se si no te estoy entendiendo o si me expliqué mal. Voy a intentar ser mas claro para ver si me estoy perdiendo algo. Lo que digo: yo parto de un numero, (con el proposito de la simplicidad voy a elegir un numero pequeño: 5). Lo primero que me pregunto es ¿que sumatorias producen este numero?. De dos cifras 2+3, 1+4. De tres cifras 1+1+3, 2+1+2. Lo que hago es tomar esos numeros y expresarlos como si fuesen numeros enteros en todas las combinaciones posibles: 23 14 32 41 y para los de tres digitos 113  131  311 212 221 122. De estos resultados solo me quedo con una serie (la de dos cifras o la de tres). Voy a elegir la tres y multiplico cada uno por 2 (tambien para simplificar). me queda 226 262 611 424 442 244 y si sumo sus "integrantes" obtengo siempre 1 (cuando el numero resultante tiene mas de una cifra)

 Es decir que sumas las cifras sucesivamente hasta que te queda un número de una cifra. Por que tu hacs:

\( 2+2+6=10 \) y no te quedas con esa suma \( 10 \) sino que haces \( 1+0=1 \) y dices que da \( 1 \)

 Pero antes me decías:

(En el ejemplo, si contamos las decenas como tales, con n=2 las cifras suman 14, con n=3   21, y así).

 Es decir entiendo que para \( 223 \) lo multiplicabas por \( n=2 \), te da \( 446 \) y la suma es \( 4+4+6=14 \)...¡pero no hacías \( 1+4=5 \)!... qué es lo que dices ahora.

 Lo que yo te decía antes ampliando mi ejemplo es que:

 \( 451 \) suma \( 4+5+1=10 \), pero si lo multiplicamos por dos \( 902 \) suma \( 9+2=11 \).
 \( 334 \) suma lo mismo \( 3+3+4=10 \), pero si lo multiplicamos por dos \( 668 \) suma \( 6+6+8=20 \), diferente.

 Sin embargo si sumas las cifras hasta que sólo te quede una si da lo mismo:

\(  1+1=2 \)
\(  2+0=2 \)

 El motivo es que módulo \( 9 \) un número coincide con la suma de sus cifras, es decir, \( S(x)-x \) siempre es múltiplo de \( 9 \).

 Esto hace que, resto módulo 9, de lo mismo sumar o multiplicar dos números y luego sumar las cifras del resultado que primero sumar las cifras y luego sumar (o multiplicar) esas sumas.

 Es decir:

 \( s(x)+s(y) \) y \( s(x+y) \) se diferencian en un múltiplo de \( 9 \)
 \( s(x)\cdot s(y) \) y \( s(x)s(y) \) se diferencian en un múltiplo de \( 9 \)

 Y además si vas sumando las cifras de dos números que se diferencian en un múltiplo de \( 9 \) la diferencia entre esas sumas sigue difiriendo en un múltiplo de \( 9 \). Si repites hasta llegar a números de una cifra, como dos números no nulos de una cifra que se diferencian en un múltiplo de \( 9 \) son el mismo, llegas al mismo resultado.

 Por ejemplo:

 \( 231\cdot 1723=398013 \) si sumamos \( 3+9+8+0+1+3=24 \) volvemos a sumar \( 2+4=6 \)
 
 Por otro lado si primero sumamos las cifras \( 2+3+1=6 \) y \( 1+7+2+3=13 \) entonces:

 \( 6*13=78 \) y \( 7+8=15 \) y \( 1+5=6 \)

 ¡Se obtiene \( 6 \) de las dos maneras!.

 En tu caso si tienes un numero \( x \) cifras suman \( N \) y lo multiplicas por \( k \) y luego reduces las sumas de \( k\cdot x \) hasta obtener un número de una cifra dará lo mismo que si reduces las sumas de \( k\cdot N \) y por eso no influye que número \( x \) has escogido.

Saludos.

[MNDK]

Esto es maravilloso! muchas gracias y si, disculpas, me expresé mal, (o me pase de vivo...) Eso que estaba dentro del parentesis era una curiosidad de último momento que no me tome el tiempo de indicar como tal, ni de evaluar. Pero me has dado la respuesta y media que buscaba. Muy agradecido. Saludos

[Richard R Richard]

Hola, me parece que el título no refleja lo hablado en el hilo.

He leído por encima las respuestas,  y no veo relación con el otro hilo, entonces creo no haber entendido la consigna del título pues

 Mentalismo I desaprobada

Sean $$n,x $$ enteros y $$S(r)$$ la operación suma de cifras de $$r$$


El título refiere a  que $$S(n\cdot x)=n\cdot S(x)$$

es evidente que  si $$n=1$$ todo $$x$$ cumple  $$S(1\cdot x)=1\cdot S(x)=S(x)$$
para otros $$n$$ se pueden contar muchos casos y de ese conteo dejo evidencia

n=      1           2       3      4   5   6   7   8  9   >9

x= 1000000 15625 4096 729 64 64 64 64 64 0
x= 2000000 31250 8192 1458 127 127 127 127 127 0
x= 3000000 46875 12288 2186 127 127 127 127 127 0
x= 4000000 62500 16383 2186 127 127 127 127 127 0
x= 5000000 78124 16383 2186 127 127 127 127 127 0
x= 6000000 78124 16383 2186 127 127 127 127 127 0
x= 7000000 78124 16383 2186 127 127 127 127 127 0
x= 8000000 78124 16383 2186 127 127 127 127 127 0
x= 9000000 78124 16383 2186 127 127 127 127 127 0
x= 10000000 78125 16384 2187 128 128 128 128 128 0
x= 11000000 93750 20480 2916 192 192 192 192 192 0
x= 12000000 109375 24576 3645 255 255 255 255 255 0
x= 13000000 125000 28672 4373 255 255 255 255 255 0
x= 14000000 140625 32767 4373 255 255 255 255 255 0
x= 15000000 156249 32767 4373 255 255 255 255 255 0
x= 16000000 156249 32767 4373 255 255 255 255 255 0
x= 17000000 156249 32767 4373 255 255 255 255 255 0
x= 18000000 156249 32767 4373 255 255 255 255 255 0
x= 19000000 156249 32767 4373 255 255 255 255 255 0
x= 20000000 156250 32768 4374 255 255 255 255 255 0

Es evidente que ningún número que al multiplicarlo por $$n=10$$ la suma de sus cifras se vera multiplicada por 10,  es imposible ya que al multiplicar por cualquier $$10^z$$ la suma de cifras permanece inalterada...

Tampoco hay evidencia para $$n >10$$  ya que sería mucha casualidad que un número compuesto de cifras bajas , al multiplicarlo por $$n$$ , la suma de sus cifras  se eleve tanto como para multiplicarse por $$n$$... quizá con muchas cifras y no con los naturales mas bajos.

Justamente los que suman en la lista son aquellos números cuya composición de cifras no produce ningún acarreo al multiplicar, es decir los que tiene varios $$0,1,2,3$$ y $$4$$, ya con $$5$$ hay acarreo para cualquier $$n$$ mayor a 1.

Tampoco refiere a que

$$S(n)\cdot x=n\cdot S(x)$$  de estas hay 5840 combinaciones exitosas   con $$n$$ y $$x$$ menores a 10000  y sin duplicados es decir $$n>x$$

un caso $$x= 8715$$ , $$S(x)= 21$$ , $$n= 9545$$ , $$S(n)= 23$$  pues  $$8715 \cdot 23=21\cdot 9545$$

[cerrar]

Saludos.

[MNDK]

Hola Richard. En la parte matematica todavia no llego a entender el planteo en "Mentalismo desaprobado" (windows 95 aquí arriba, sigo procesando). Probablemente la confusion venga de que yo cometi una desprolijidad. Esto lo habia posteado en un primer momento en https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=130144.msg539776;topicseen#msg539776 solo porque fue algo que me surgió mientras pensaba en la secuencia de Norges y dudaba que tuviese la relevancia necesaria como para armar otro post. Como el tema se habia resuelto y me quedaba la espinita lo largué ahí. Me doy cuenta  que  fue un error...vive y aprende, la proxima  me lo quedo para mi o posteo algo separado. disculpas por la confusion.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, me parece que el título no refleja lo hablado en el hilo.

Pues si lo refleja, con algún matiz, pero si.

En un primer momento pensé que MNDK preguntaba exactamente lo que pone en el hilo. Que \( S(nx)=nS(x) \) porque parecía poner como ejemplo (entre otros) \( x=223 \) y \( n=2 \), donde \( S(nx)=S(446)=4+4+6=14 \) y \( 2\cdot S(223)=2(2+2+3)=2\cdot 7=14 \). Ahí si funciona; pero claro falla en general obviamente.

Luego matizó que en realidad se refiere a seguir tomando suma de cifras hasta que solo quede un número de una cifra y entonces la propiedad si se cumple. En el ejemplo anterior seguiríamos con \( 1+4=5 \) en los dos lados de la igualad.

Por ejemplo \( x=532 \) y \( n=17 \); se tiene \( nx=9044 \) y

\( S(nx)=S(9044)=9+4+4=17\quad \to 1+7=8 \)
\( nS(x)=17\cdot (5+3+2)=170\quad \to\quad 1+7=8 \)

He leído por encima las respuestas,  y no veo relación con el otro hilo, entonces creo no haber entendido la consigna del título pues

En cuanto a la relación con el hilo que enlacé, es remota y por eso los separé. Dándole vueltas a sucesiones que se adaptasen a la de Norges parece que se encontró con esta propiedad, como quien buscando su cartera perdida se encuentra con un reloj extraviado.

Hola Richard. En la parte matemática todavía no llego a entender el planteo en "Mentalismo desaprobado"

Simplemente Richard pone un montón de ejemplos donde falla  \( S(nx)=nS(x) \).

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola

Hola, me parece que el título no refleja lo hablado en el hilo.

Pues si lo refleja, con algún matiz, pero si.

En un primer momento pensé que MNDK preguntaba exactamente lo que pone en el hilo. Que \( S(nx)=nS(x) \) porque parecía poner como ejemplo (entre otros) \( x=223 \) y \( n=2 \), donde \( S(nx)=S(446)=4+4+6=14 \) y \( 2\cdot S(223)=2(2+2+3)=2\cdot 7=14 \). Ahí si funciona; pero claro falla en general obviamente.

Luego matizó que en realidad se refiere a seguir tomando suma de cifras hasta que solo quede un número de una cifra y entonces la propiedad si se cumple. En el ejemplo anterior seguiríamos con \( 1+4=5 \) en los dos lados de la igualad.

Por ejemplo \( x=532 \) y \( n=17 \); se tiene \( nx=9044 \) y

\( S(nx)=S(9044)=9+4+4=17\quad \to 1+7=8 \)
\( nS(x)=17\cdot (5+3+2)=170\quad \to\quad 1+7=8 \)

He leído por encima las respuestas,  y no veo relación con el otro hilo, entonces creo no haber entendido la consigna del título pues

En cuanto a la relación con el hilo que enlacé, es remota y por eso los separé. Dándole vueltas a sucesiones que se adaptasen a la de Norges parece que se encontró con esta propiedad, como quien buscando su cartera perdida se encuentra con un reloj extraviado.

Hola Richard. En la parte matemática todavía no llego a entender el planteo en "Mentalismo desaprobado"

Simplemente Richard pone un montón de ejemplos donde falla  \( S(nx)=nS(x) \).

Saludos.

Ah... ahora entiendo,  debi leer el hilo con más detenimiento,  pero como me gusta dar mis soluciones  poco contaminadas de ideas previas me perdí de la duda principal.


Y el conteo que hice es el de las pocas coincidencias que existen, de millones de casos que analice con PC, , luego miraré  para comprobar con mis propios  ojos algunas afirmaciones del hilo que me resultan curiosas pero no imposibles, nada para debatir.
Saludos