En primer lugar, defino “demostración difusa” como algo que no es una demostración pero que resulta convincente. Le falta la puntilla, el remate, el cual parece tocarse con la punta de los dedos, pero no sale del todo.
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Tenemos el intervalo \( (0,2n) \) donde todos los simétricos respecto de \( n \) (o sea, números de la forma \( (n\mathbin{\color{red}+}k) \) [
gracias por mirarlo,Richard] y \( (n-k) \) suman 2n siendo \( k<n \).
Considero que “n” no es primo (si lo fuera, se cumpliría Goldbach).
Tendremos una serie de parejas simétricas de números coprimos con \( 2n \); tomaremos todos éstos excepto la pareja \( (1,2n-1) \) y las parejas formadas por dos compuestos simétricos; parejas del tipo c+c.
En estas condiciones, si hacemos la suposición de que la conjetura no se cumple, la cantidad de primos y compuestos tiene que ser la misma; más compuestos no pueden existir en dicho conjunto, pues hemos eliminado todas las parejas de compuestos \( c_i+c_j \). Y, en otro caso, si hay más primos que compuestos, la conjetura se cumple.
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Los lemas que voy a usar son tan conocidos y obvios que no los voy ni a enumerar:
Todos estos primos coprimos guardan una relación de orden: \( p_{1}<p_{2}<p_{3}<...<p_{max} \), y me voy a quedar solamente con los primos menores que \( n \), entonce en \( (0,n) \) existe esa relación, con un primo mínimo y otro máximo.
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Todos los compuestos del intervalo \( (n,2n) \) están formados por factores menores que \( (n) \), de lo contrario el producto sería mayor que \( 2n \). dicho de otra manera, sólo puede haber compuestos formados por los primos del intervalo \( (0,n) \)
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Si suponemos que la conjetura falla, como ya he dicho, entonces, necesariamente, tiene que haber una biyección entre primos y compuestos. Pasaré pues a considerar esa posible biyección. Entonces, todos los primos coprimos de \( (0,n) \) tienen que sumar \( 2n \) con un compuesto coprimo de \( (n,2n) \), pues lo que sí sabemos es que la cantidad de coprimos es la misma en ambos intervalos y que los coprimos no pueden sumar 2n con los no coprimos
Ataco la posible biyección:Sea el conjunto \( C_{1} \) el de los compuestos contenidos en \( (n,2n) \) que tienen como factor el primo \( p_{1} \) perteneciente al conjunto \( P_{1} \); que es el de los primos contenidos en \( (0,n) \).
Entonces, tomo todos esos compuestos y los hago corresponder con primos de \( P_{1} \) mediante la relación \( p_{1}+c_{1}=2n \).
Ninguno de ellos puede formar pareja con el primo \( p_{1} \), pues entonces no serían coprimos con 2n.
Spoiler
Lo dicho arriba es obvio, pero no cuesta nada detallarlo.
Si \( c_{1}=kp_{1} \)
entonces
\( p_{1}+kp_{1}=2n \)
\( p_{1}(1+k)=2n \)
y \( p_{1} \), impar, divide a \( n \)
luego no sería coprimo.
Los primos coprimos tienen que ser coprimos entre sí, no sólo coprimos con 2n. Esta simpleza es vital.
Así pues, consideremos que hemos biyectado todos los \( c_{1} \) con primos; vemos que \( p_{1} \) queda libre esperando a otro compuesto que venga después, en el siguiente proceso de la biyección.
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Seguidamente, y de forma análoga, tomamos todos los múltiplos de \( p_{2} \) que quedan por corresponder en \( (n,2n) \), digamos los \( c_{2} \).
Ahora sí que \( p_{1} \) se puede corresponder con un compuesto; a condición de que ese compuesto no sea múltiplo de \( p_{1} \). Y lo hacemos en primer lugar, usamos el primo más pequeño si no está usado ya.
Como \( p_{2} \) es pequeño habrá bastantes múltiplos de él y tendremos que usar \( p_{3},p_{4}... \), pero nos vale suponer que usamos \( p_{3} \) y lo gastamos sumándolo a un múltiplo de \( p_{3} \); y así vamos usándolos de forma que queden ordenados consecutivamente menor a mayor los primos que hemos ido gastando.
Bien, pues supongamos que ya hemos biyecctado todos los \( c_{2} \) hasta los múltiplos de \( p_{max-1} \); habrá dos múltiplos al menos de ese primo (si sólo hubiera uno sería \( p_{max} \) en vez de \( p_{max-1} \)) y con uno cubriremos \( p_{max-2} \) si no está cubierto (que va a ser que sí, pero bueno) y el otro lo emparejaremos con \( p_{max} \).
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Así, finalmente llegaremos a los \( c_{max} \), múltiplos o múltiplo de\( p_{max} \), que no se pueden biyectar con \( p_{max} \), porque, además de no ser coprimo, estará cubierto. Así pues, se han gastado los primos y los \( C_{max} \) y no se podrán biyectar con primos, sólo con compuestos, pero las parejas c+c han sido eliminadas (si las hubiera dejado no habría biyección entre primos y compuestos, directamente serían más los compuestos en (0,2n) y esos compuestos no gastan primos) así que parece que eso no puede ocurrir. Entonces parece que tiene que existir al menos una pareja de primos.
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Por otra parte, en (n,2n) sólo puede haber un compuesto del tipo \( p^{k} \) por cada primo; sólo uno, porque si hay dos, entonces, \( p^{k+1}>2n \). Pero, aunque sea imposible, supongamos que todos los compuestos de (n,2n) fueran de ese tipo. Entonces sí se podrían biyectar, pero la realidad es que los compuestos están formados por factores primos diversos en su mayoría, y cada factor primo implica una restricción en cuanto a sumar con esos primos; además, para los 2n grandes, los compuestos con muchos factores distintos son cuantiosos, y Goldbach fuerte está comprobada para números de 18 cifras.
Goldbach se cumple, y ésta es la razón (o una de ellas) por la que se cumple; por combinatoria, no por probabilidad. La cuestión es cómo expresar lo dicho con el rigor suficiente.
Le he dicho a Gemini que lo mirara, me ha corregido algún despiste en los subíndices, pero habrá más despistes. Y le ha parecido bien. Pero no sé... cada uno verá.
