[Marcos Castillo]

Estimado Rincón:

Estoy con poca señal como para citar todo... pero
Para pequeños  valores de x


$$(1-x)^{-1}=\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{1}{1-x}\dfrac{1+x}{1+x}=\dfrac{1+x}{1-x^2}\approx\dfrac{1+x}{1-\cancelto{0}{x^2}}=1+x$$


Del mismo modo


$$(1+x)^{-1}=\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{1}{1+x}\dfrac{1-x}{1-x}=\dfrac{1-x}{1-x^2}\approx\dfrac{1-x}{1-\cancelto{0}{x^2}}=1-x$$


O simplemente pasar de terminos


$$(1−x)^{−1}=\dfrac{1}{1−x}\approx 1+x $$ entonces $$(1+x)^{-1}=\dfrac{1}{1+x}\approx(1-x)$$


Citar

Esto sería con el viento en la dirección y sentido de ur y us, no?

No , el viento no influye si la velocidad del viento es constante. En esa situación tanto fuente como receptor viajan en en la misma dirección  y sentido.  Típico del coyote corriendo detrás del correcaminos.
Si el correcaminos  va más rápido que el coyote la frecuencia de los beep  que emite el correcaminos se escuchan con menos frecuencia según el coyote, es decir más separados  los beeps.
Si  el coyote lo viene alcanzando mas frecuencia , más juntos  los beeps.

Perfecto, muchas gracias, Richard R Richard

Acerca de la fórmula del efecto Doppler, observo que todos los casos se podrían resumir en dos:
1) el emisor y el receptor se aproximan o 2) se alejan, independientemente de si se mueven en la misma dirección con el mismo sentido o contrario, pues si se usa un sistema de referencia solidario con el receptor, éste se podría considerar en reposo, con lo que solo habría dos fórmulas en vez de cuatro. 
1) Si se aproximan: \( f_R=\dfrac{v'}{v'-v'_E}f\Longrightarrow f_R>f \)
2) Si se alejan: \( f_R=\dfrac{v'}{v'+v'_E}f\Longrightarrow f_R<f \)
donde ahora, \( v' \) y \( v'_E \) son respectivamente la velocidad de la onda y la velocidad del emisor relativas al receptor, en lugar de respecto al medio.
Por ejemplo, de todos los casos que hay, si reparamos en uno de ellos, en el que el emisor y el receptor se dirigen uno hacia el otro en sentidos contrarios de la misma dirección, la fórmula a la que se llega es
\( f_R=\dfrac{(v+v_R)}{v-v_E}f\,\,\,(\ast) \), siendo \( v, v_R \) y \( v_E \) respectivamente, la velocidad de la onda, la del receptor y la del emisor respecto al medio. Pero entonces... la frecuencia percibida por el receptor, también se puede expresar como \( f_R=\dfrac{(v+v_R)}{v+v_R-(v_E+v_R)}f=\dfrac{v'}{v'-v'_E}f \), siendo \( v'=v+v_R \) y \( v'_E=v_E+v_R \) respectivamente, la velocidad de la onda y la velocidad del emisor relativas al receptor. Y análogamente, el resto de casos.

\( (\ast) \)

Spoiler

Emisor y receptor se dirigen el uno hacia el otro en sentidos contrarios de la misma dirección, con velocidades respecto al medio \( v_E, v_R \) respectivamente, siendo \( v \) la velocidad de la onda en el medio.
Supongamos que el emisor va de izquierda a derecha y el receptor de derecha a izquierda (véase el gráfico).

Si un frente de onda es emitido por el emisor en el instante \( t_0=0 \), \( d \) es la distancia que lo separa del receptor en ese instante, y \( t \) es el tiempo que transcurre hasta que el receptor recibe el frente de onda, se tiene que la distancia recorrida por el frente de onda hasta el punto de encuentro \( P \) con el receptor es \( vt \) y la recorrida por el receptor es \( v_Rt \) luego \( vt+v_Rt=d \).
El siguiente frente de onda es emitido por el emisor en el instante \( T \) (período de la onda), y se produce cuando el emisor se halla en la posición \( v_ET \). Si \( t' \) es el instante en el que el receptor recibe este segundo frente de onda en la posición \( Q \), se verifica que la distancia recorrida por el frente es \( v(t'-T) \) y la distancia recorrida por el receptor es \( v_Rt' \), luego \( v_ET+v(t'-T)+v_Rt'=d=vt+v_Rt \) de donde
\( (t'-t)(v+v_R)=(v-v_E)T\Longrightarrow \dfrac{1}{T_R}=\dfrac{1}{t'-t}=\dfrac{(v+v_R)}{v-v_E}\cdot \dfrac{1}{T}\Longleftrightarrow \boxed{f_R=\dfrac{v+v_R}{v-v_E}f} \).
Los demás casos se analizan de forma análoga.

[cerrar]

Esto es muy intuitivo, pero necesito estudiarlo un poco más, ani_pascual. Creo que ya lo he entendido, pero aún debo leerlo más.

Un saludo

[ani_pascual]

Hola, Marcos Castillo :

...
Esto es muy intuitivo, pero necesito estudiarlo un poco más, ani_pascual. Creo que ya lo he entendido, pero aún debo leerlo más.
...

Para practicar... te propongo, como ejercicio, a ver si te sale, que verifiques que se llega a la fórmula 2) \( f_R=\dfrac{v'}{v'+v_E'}f \), en el caso en que el emisor de la onda y el receptor u observador se van distanciando mutuamente, debido a que se mueven en la misma dirección pero con sentidos contrarios. Cuando tenga un poco más de tiempo, subiré los otros casos, para que veas que se llega en todos ellos, bien a la fórmula 1), cuando se acercan, o bien a la fórmula 2), cuando se alejan.
🖐🏻
Saludos

[Marcos Castillo]

Hola, ani_pascual, perfecto, lo intentaré. Primero voy a estudiar la obtención de \( f_R=\cfrac{v+v_R}{v-v_E}\,f \) que me has dado.

¡Un saludo a tod@s!

[Marcos Castillo]

Estimado Rincón:

Para practicar... te propongo, como ejercicio, a ver si te sale, que verifiques que se llega a la fórmula 2) \( f_R=\dfrac{v'}{v'+v_E'}f \), en el caso en que el emisor de la onda y el receptor u observador se van distanciando mutuamente, debido a que se mueven en la misma dirección pero con sentidos contrarios. Cuando tenga un poco más de tiempo, subiré los otros casos, para que veas que se llega en todos ellos, bien a la fórmula 1), cuando se acercan, o bien a la fórmula 2), cuando se alejan.

\( f_R=\cfrac{v'}{v'+v'_E}\,f\Rightarrow{f_R<f} \)

\( \cfrac{v-u_r}{v+u_S}<1\Rightarrow{f_R<f_S} \)

\( f_R=\cfrac{v-u_r}{v+u_s}\,f_S \)

\( v-u_r=v' \)

\( f_R=\cfrac{v'}{\underbrace{v-u_r}_{v'}+\underbrace{u_r+u_s}_{v'_E}}f_S \)

Si he acertado, ¿por qué?; y si no, ¿por qué?.

¡Un saludo!

[Richard R Richard]

Hola Marcos  al espera que te den respuesta a tu anterior mensaje te comento.

Todas las ecuaciones para cálculo de frecuencias son deducibles a partir de las fórmula del movimiento rectilíneo uniforme MRU, ya que las ondas son mecánicas , de velocidad constante y no relativistas.
Lo primero que hay que pensar es que el aire como cualquier otro fluido o incluso los solidos, tienen una velocidad de trasmisión de la onda sonora, determinada por otras variables del sistema y la llamaremos $$v$$. Ahora estamos trabajando con el fluido aire, entonces piensa  en un  contenedor cerrado, tanque, cilindro etc., que contiene aire , suponlo muy largo, en un extremo de lado mas largo, agitas el aire produciendo sonido, la onda viajará por el recipiente hasta el otro extremo a la velocidad del sonido $$v$$ y llegará al otro extremo a una distancia $$L$$ en un tiempo $$t=L/v$$. Supón ahora  que el tanque tiene ruedas y lo desplazas con una velocidad $$v_w$$  , para un observador al interior el tanque el aire esta quieto y la velocidad del sonido relativa al tanque sigue siendo $$v$$, tardara el mismo tiempo el sonido en llegar al final el tanque,  pero para un observador externo el extremo final del tanque se desplazó en el mismo tiempo,  la onda cubrió $$D=L+v_wt$$ así que cubrió mas distancia en el mismo tiempo... la velocidad del sonido fue mayor... No hay nada raro se suman las velocidades del  sonido y la del transporte del medio.eso es relatividad en medios mecánicos.
Pero  ahora si quitas las paredes laterales  el aire no viaja  junto a los extremos  solo viaja a velocidad $$v$$ respecto al aire externo, y tardará más en alcanzar el extremo $$t'=L+v_wt$$ pues este se desplazó mientras viajaba, nada raro tampoco. Pero hay algo que si cambia, y es la frecuencia del sonido percibido por alguien externo. Cuando la fuente está quieta  el sonido avanza una longitud de onda en un periodo $$T=\lambda/v$$ , y si el observador esta quieto también recibe cada un periodo de tiempo $$T$$, cada pico de la onda.
Que pasa entonces si la fuente  se va acercando al observador, el primer pico hace una longitud de onda en tiempo $$T$$,  pero el segundo pico no se emite en el mismo lugar que el primero, se emite mas cerca del observador en la distancia $$v_sT$$ por lo que la nueva longitud entre dos picos que recibe el observador es $$\lambda'=\lambda-v_sT=vT-v_sT$$ una longitud de onda menor implica una frecuencia mayor , así que si acercas la fuente la frecuencia aumenta, lo mismo sucede si el observador se acerca a la fuente. Y los efectos contrarios se dan cuando el observador se aleja o la fuente se aleja.
$$f'=v\lambda'=\dfrac{v}{vT-v_sT}=\dfrac{v}{T(v-v_s)}=\dfrac{fv}{v-v_s}$$
Cuando el observador se acerca la onda viaja con la frecuencia que partió de la fuente su longitud de onda es $$\lambda$$ como entre pico y pico recibido el observador avanza, quiere decir que la velocidad con la que alcanza a cada pico de la onda es la velocidad de la propia onda, mas la de su propia velocidad, .. ejemplo imagina que avanza tambien a la velocidad del sonido entonces alcanza cada pico con $$v+v =2v$$ y como la longitud de onda en el medio es constante en la mitad de tiempo recibe los picos, es decir con el doble de frecuencia...   $$f''=f'\dfrac{v+v_r}{v}$$   
Cuando ambas cosas suceden a la vez ,combinas los dos efectos $$f''=f'\dfrac{v+v_r}{v}=\dfrac{f\cancel v}{v-v_s}\dfrac{v+v_r}{\cancel v}=\boxed{f\dfrac{v+v_r}{v-v_s}}$$ *

Para lo cual te darás cuenta que los signos son una convención cuando el observador se acerca(contrario a la dirección del sonido) la velocidad aumenta entonces su velocidad se suma, si la fuente viaja en el sentido a favor del sonido debe restarse para que el numerador aumente la frecuencia .

• Fuente y receptor inmóviles sin viento  $$f'=f$$

• Si hay viento constante   y observadores inmóviles $$f'=f$$  el viento no influye, solo si  fuente y receptor tienen velocidades diferente respecto del medio (aire o viento) si hay viento constante y los dos están inmóviles los dos registran el mismo viento y por tanto la frecuencia es la misma.

como ya nos independizamos del aire-viento

• Receptor fijo, fuente móvil acercándose $$f'=f\dfrac{v}{v-v_s}$$
• Receptor fijo, fuente móvil alejándose $$f'=f\dfrac{v}{v+v_s}$$
• Receptor móvil acercándose, fuente fija $$f'=f\dfrac{v+v_r}{v}$$
• Receptor móvil alejándose, fuente fija $$f'=f\dfrac{v-v_r}{v}$$

Luego existen combinaciones de estas 4 opciones anteriores

• sentidos opuestos de movimiento acercándose $$f'=f\dfrac{v+v_r}{v-v_s}$$ caso ya visto en *
• sentidos opuestos de movimiento alejándose $$f'=f\dfrac{v-v_r}{v+v_s}$$

• mismo sentido acercándose , fuente detrás el receptor $$v_r<v_s$$ $$f'=f\dfrac{v-v_r}{v-v_s}$$
• mismo sentido alejándose , fuente detrás el receptor $$v_r>v_s$$ $$f'=f\dfrac{v-v_r}{v-v_s}$$

• mismo sentido acercándose , fuente delante el receptor $$v_s<v_r$$ $$f'=f\dfrac{v+v_r}{v+v_s}$$
• mismo sentido alejándose , fuente delante el receptor $$v_s>v_r$$ $$f'=f\dfrac{v+v_r}{v+v_s}$$

En el caso que la velocidad del viento varié, lo que se conserva es la longitud de onda, y al aumentar la velocidad aumenta la velocidad del sonido, luego aumenta la frecuencia, y viceversa, estos casos son los menos estudiados, y si sirven para determinar  velocidades y posiciones reales de naves en corrientes marinas, pero siempre son efectos muy pequeños en los resultados ya que la velocidad del sonido en el agua es mucho mayor que en el aire y los movimientos de las naves muy pequeños en comparación con la velocidad del sonido.

[ani_pascual]

Hola:

.,.
\( f_R=\cfrac{v'}{v'+v'_E}\,f\Rightarrow{f_R<f} \)

\( \cfrac{v-u_r}{v+u_S}<1\Rightarrow{f_R<f_S} \)

\( f_R=\cfrac{v-u_r}{v+u_s}\,f_S \)

\( v-u_r=v' \)

\( f_R=\cfrac{v'}{\underbrace{v-u_r}_{v'}+\underbrace{u_r+u_s}_{v'_E}}f_S \)

Si he acertado, ¿por qué?; y si no, ¿por qué?. :banghead:
...

:aplauso:
Voy a usar la notación que has usado tú, para no liarnos...
Supongamos, sin pérdida de generalidad, que el emisor se dirige hacia la izquierda, alejándose del receptor, y el receptor hacia la derecha, alejándose del emisor, y que en el instante inicial en que el emisor emite el primer frente de onda, la distancia que los separa es \( d \). Sea \( t  \) el instante en que el receptor recibe el primer frente de onda en el punto \( P \), entonces se cumple \( d+u_rt=vt \).

Ahora bien, el emisor emite el segundo frente de onda, cuando ha recorrido una distancia \( u_sT \) hacia la izquierda (siendo  \(  T \) el período de la onda), y si llamamos \( t' \) al instante en que el segundo frente de onda es recibido por el receptor en el punto  \( Q \) (que  para entonces habrá recorrido una distancia \( u_rt' \)), se ha de cumplir que
\( u_sT+d+u_rt'=v(t'-T)\Longleftrightarrow  \\u_sT+vt-u_rt+u_rt'=v(t'-T)\Longrightarrow (t'-t)(v-u_r)=(v+u_s)T \) de donde \( \dfrac{1}{T_r}=\dfrac{1}{t'-t}=\dfrac{v-u_r}{v+u_s}\cdot\dfrac{1}{T}\Longleftrightarrow f_r=\dfrac{v-u_r}{v+u_s}f_s \).
Finalmente, si consideramos el sistema de referencia solidario al receptor, la velocidad de la onda relativa al receptor es \( v'=v-u_r \) y la velocidad del emisor relativa al receptor es \( u'_s=u_s+u_r \), luego queda lo que has escrito,
\( f_r=\dfrac{v-u_r}{v-u_r+u_r+u_s}f_s=\dfrac{v'}{v'+u'_s}f_s \).
¡Bueno, he cambiado \( v'_E \) por \( u'_s \) y \( f_R \) por \( f_r \) .
 ;D
Te animo, a analizar los otros casos...

Gráfico  manuscrito añadido   :)
Saludos

[Marcos Castillo]

Estimado Rincón, voy a darme un tiempo para estudiar el hilo. ¡Un saludo!

[Marcos Castillo]

Estimado Rincón, me veo muy pez. He creado mucha expectativa, pero no estaba bien fundamentada. Debo recular del hilo. He tenido unos cuantos días para intentar aportar algo, y no lo consigo. Un abrazo.

[Richard R Richard]

Estimado Rincón, me veo muy pez. He creado mucha expectativa, pero no estaba bien fundamentada. Debo recular del hilo. He tenido unos cuantos días para intentar aportar algo, y no lo consigo. Un abrazo.

Ok, te refieres a que todas tus dudas han desaparecido o a que no encuentras  otra forma de expresarlas pero aún están allí.
Si es lo segundo plantea un problema concreto desde cero, con todos los datos  que creas relevantes y le buscamos la interpretación téorica, una gráfica y la matemática.


Por otro lado leo tus intervenciones y tienen una estructura similar  a las provistas por algunas IAs, o bien estas intentando  una monogafía o apunte y cuando te refieres  ha hacer algún  aporte, ¿sobre que se trataría,? ¿sobre la deducción matemática  qué calcula las frecuencias en el efecto Doppler de ondas mecánicas?

[Marcos Castillo]

Ok, te refieres a que todas tus dudas han desaparecido o a que no encuentras  otra forma de expresarlas pero aún están allí.

Aún están ahí

Si es lo segundo plantea un problema concreto desde cero, con todos los datos  que creas relevantes y le buscamos la interpretación téorica, una gráfica y la matemática.

En este hilo plantee un ejercicio, pero no le veo sentido a la resolución.

Por otro lado leo tus intervenciones y tienen una estructura similar  a las previstas por algunas IAs, o bien estas intentando  una monogamia o apunte, y cuando te refieres  ha hacer algún  aporte, ¿sobre que se trataría,? ¿sobre la deducción matemática  qué calcula las frecuencias en el efecto Doppler de ondas mecánicas?

No sé manejar la inteligencia artificial a ese nivel. He dado mil vueltas al ejercicio resuelto que propuse, pero no llego a ninguna conclusión clara. Prefiero dejarlo, Richard R Richard.