[Marcos Castillo]

Estimado Rincón:

Me gustaría compartir con el foro unas dudas acerca de un texto sobre el efecto Doppler no relativista. Menciono las dudas según surgen en el enunciado. Ahí va:

Si una fuente de onda y un receptor están moviendose relativos entre sí, la frecuencia recibida no es la misma que la frecuencia de la fuente. Si se están acercando, la frecuencia recibida es mayor que la frecuencia de la fuente; y si están alejándose, la frecuencia recibida es menor que la frecuencia de la fuente. Es el llamado Efecto Doppler. Un caso familiar es la caída de tono del sonido de la bocina de un coche aproximándose al pasar y despues alejándose.

En las siguientes líneas, todos los movimientos son relativos al medio. Consideremos la fuente moviéndose con velocidad \( u_s \), y un receptor estacionario. La fuente tiene una frecuencia \( f_s \) (y un período \( T_s=1/f_s \). La frecuencia recibida \( f_r \), el número de crestas de onda pasando al receptor por unidad de tiempo, está relacionado con la longitud de onda \( \lambda \) (la distancia entre sucesivas crestas) y velocidad de onda relativa \( v \) por

\( f_r\lambda=v\quad{\text{(receptor estacionario)}}\qquad{15-37} \)

Una cresta de onda sale de la fuente en el tiempo \( t_1 \) y la siguiente cresta sale de la fuente en el tiempo \( t_2 \). El tiempo entre estos dos eventos es \( T_s=t_2-t_1 \), y durante ese tiempo la fuente y la cresta saliendo de la fuente en un tiempo \( t_1 \) viajan distancias \( u_sT_s \) y \( vT_s \), respectivamente. En consecuencia, en el tiempo \( t_2 \), la distancia entre la fuente y la cresta saliendo en el tiempo \( t_1 \) es igual a la longitud de onda \( \lambda \). Tras la fuente \( \lambda=\lambda_b=(v+u_s)T_s \), y frente a la fuente \( \lambda=\lambda_f=(v-u_s)T_s \), siempre que \( u_s<v \) (Si \( u_s\geq{v} \), no hay frentes de onda que alcancen la región delante de la fuente.) Podemos expresar \( \lambda_b \) y \( \lambda_f \) como

\( \lambda=(v\pm{u_s})T_s=\cfrac{v\pm{u_s}}{f_s}\qquad{15-38} \)

donde el signo menos se emplea si \( \lambda=\lambda_f \), y el signo menos se emplea si \( \lambda=\lambda_b \). Hemos sustituído \( 1/f_s \) por \( T_s \). Sustituyendo por \( \lambda \) en la ecuación 15-37 y reordenando da

\( f_r=\cfrac{v}{\lambda}=\cfrac{v}{v\pm{u_s}}\,f_s\quad{(\text{receptor estacionario})}\qquad{15-39} \)

(Hasta aquí todo entendido)



Cuando el receptor está moviéndose relativo al medio, la frecuencia recibida será diferente dado que el receptor se mueve pasadas más o menos crestas de olas para un determinado tiempo. Denotemos \( T_r \) el tiempo entre llegadas de sucesivas crestas para un receptor moviendose con velocidad \( u_r \). Entonces, durante el tiempo entre llegadas de dos crestas sucesivas, cada cresta habrá viajado una distancia \( u_rT_r \). Si el receptor se mueve en la dirección opuesta a aquella de la onda (Figura 15-27), entonces durante un tiempo \( T_r \), la distancia que una cresta recorre, más la distancia que se mueve el receptor es igual a la longitud de onda. Es decir, \( vT_r+u_rT_r=\lambda \), o \( T_r=\lambda/(v+u_r) \). Si el receptor se mueve en la misma dirección que la onda, entonces \( vT_r-\lambda=u_rT_r \), y así \( T_r=\lambda/(v-u_r) \). Como \( f_r=\lambda/T_r \), tenemos

\( f_r=\cfrac{1}{T_r}=\cfrac{v\pm{u_r}}{\lambda}\qquad{15-40} \)

donde, si el receptor se mueve en la misma dirección que la onda, la frecuencia recibida es más baja, de forma que escogemos el signo negativo. Si el receptor se mueve en la dirección de la onda, la frecuencia es más alta, así que elegimos el signo positivo. Despejando \( \lambda \) de la ecuación 15-38, obtenemos

\( f_r=\cfrac{v\pm{u_r}}{v\pm{u_s}}\,f_s\qquad{15-41a} \)

La elección correcta para los signos más o menos se determinan más fácilmente si recordamos que la frecuencia tiende a aumentar tanto cuando cuando la fuente se mueve hacia el receptor como cuando el receptor se mueve hacia la fuente. Por ejemplo, si el receptor se mueve hacia la fuente, el signo más se selecciona en el numerador, lo cual tiende a aumentar la frecuencia recibida; si la fuente se aleja del receptor, el signo más es seleccionado en el denominador, lo cual tiende a decrecer la frecuencia recibida. La ecuación 15-41a aparece más simétrica, y por ello más fácil de recordar, si la expresamos en la forma

\( \cfrac{f_r}{v\pm{u_r}}=\cfrac{f_s}{v\pm{u_s}}\qquad{15-41b} \)

Puede demostrarse (véase el problema 83) que si ambos \( u_s \) y \( u_r \) son mucho más pequeños que la velocidad \( v \) de la onda, entonces el desplazamiento en frecuencia \( \Delta{f}=f_r-f_s \) es dado aproximadamente por

\( \cfrac{\Delta{f}}{f_s}\approx{\pm{\cfrac{u}{v}}}\quad{(u\ll{v})}\qquad{15-42} \)

donde \( u=u_s\pm{u_r} \) es la velocidad de la fuente relativa al receptor.

El problema 83 parte de un resultado que no sé si entiendo: \( (1-x)^{-1}\approx{(1+x)} \)

Intento

\( (1-x)^{-1}=\cfrac{1}{(1-x)}=\cfrac{1}{(1-x)}\cfrac{(1+x)}{(1+x)}=\cfrac{(1+x)}{(1-x^2)} \)

Como el denominador es mucho menos que el numerador,

\( (1-x^2)\ll{(1+x)}\Rightarrow{(1-x)^{-1}\approx{(1+x)}} \)

En un sistema de referencia donde el medio esté moviendose (por ejemplo, el sistema de referencia del suelo si el medio es el aire y sopla un viento) la velocidad de la onda es reemplazada por \( v'=v\pm{u_w} \), donde \( u_w \) es la velocidad del viento respecto al suelo.

Estrategia de resolución de problemas

Resolver problemas relacionados con el desplazamiento Doppler implica emplear la ecuación

\( f_r=\cfrac{v\pm{u_r}}{v\pm{u_s}}\,f_s \)

(Ecuación 15-41a)

Solución

1. Encontrar la velocidad de la fuente \( u_s \) y del receptor \( u_r \) en el sistema de referencia del medio en el que se propagan.

2. Encontrar las direcciones del movimimiento de la fuente y del receptor en el mismo sistema de referencia.

3. Sustituir los valores en la ecuación 15-41a. Tanto la fuente moviéndose hacia el receptor y el receptor moviéndose hacia la fuente tienden a incrementar la frecuencia recibida. Por ello, si la fuente está moviéndose hacia el receptor, elegir el signo menos en el denominador, y si el receptor está moviéndose hacia la fuente, elegir el signo más en el numerador.

En este tercer paso también tengo dudas.

Intento

¿en ambos casos es \( f_r=\cfrac{v+u_r}{v-u_s}\,f_s \)?

4. Si la onda rebota en un reflector antes de alcanzar al receptor, considere el reflector primero  como un receptor y emplee la Ecuación 15-41a, para despues emplear el receptor como una fuente, y aplique la ecuación 15-41a de nuevo.

Chequee

Si la distancia entre la fuente y el receptor está disminuyendo, entonces la frcuencia recibida \( f_r \) es mayor que la frecuencia de la fuente \( f_s \). Si la distancia está aumentando, entonces \( f_r \) es menor que \( f_s \).

Un saludo

[ani_pascual]

Hola:

...

El problema 83 parte de un resultado que no sé si entiendo: \( (1-x)^{-1}\approx{(1+x)} \)

Intento

\( (1-x)^{-1}=\cfrac{1}{(1-x)}=\cfrac{1}{(1-x)}\cfrac{(1+x)}{(1+x)}=\cfrac{(1+x)}{(1-x^2)} \)

Como el denominador es mucho menos que el numerador,

\( (1-x^2)\ll{(1+x)}\Rightarrow{(1-x)^{-1}\approx{(1+x)}} \)
...

Si es \( f (x)=\dfrac{1}{1-x} \) en \( (-1,1) \), una aproximación de la función es mediante el polinomio de MacLaurin de grado \( 1 \), (polinomio de Taylor de grado \( 1 \) alrededor del origen):
\( f(0)=1\\f'(x)=\dfrac{1}{(1-x)^2}\Longrightarrow f'(0)=1 \)
luego \( f(x)\sim f(0)+\dfrac{f'(0)}{1!}x=1+x \).
El denominador se puede considerar próximo a la unidad porque si es \( |x|<1 \) el término cuadrático \( x^2 \) está próximo a cero. Si fuera el denominador mucho menor que el numerador, entonces el cociente sería muy grande, ¿no?
Saludos

[Richard R Richard]

Hola, en todo lo que escribes las conclusiones  son correctas, salvo que se puede mejor la justificación de


$$(1-x)^{-1}\approx 1+x$$. Que tiene sentido pensar que el denominador $$1-x^2$$  tiende a $$1$$ más rápidamente que lo que $$1+x$$ se separa de $$1$$ cuando $$x$$ esta tendiendo a $$0$$.


De esa manera  se puede justificar también que


$$(1+x)^{-1}\approx 1-x$$. Con un simple paso de términos.

Suponiendo que la velocidad del aire es constante  la longitud  de onda se conserva mientras la onda viaja, la frecuencia  aumenta si la dis relativa entre fuente y receptor disminuye, éstos puede pasar de dos formas, porque la fuente se mueve con velocidad relativa  al aire $$u_s$$ y en ese caso debe disminuir el denominador para que la frecuencia  aumente,  es decir debe restarle de la velocidad del sonido en el medio $$v$$. Y para el receptor acercándose debe aumentar el numerador, luego $$u_r$$ debe tener signo positivo.

$$f_r=f'\dfrac{v\pm u_w}{v-u_s}  $$


$$f'=f_s\dfrac{v+u_r}{v\pm u_w}$$

$$f'$$ es la frecuencia que escucharía un receptor que viaja a la velocidad del aire , es decir a la velocidad de viento , que si es constante, cuando  combinas las dos ecuaciones resulta

$$f_r=f_s\dfrac{v+u_r}{v-u_r}$$

Y si la fuente y receptor  se alejan cambian los signos.

$$f_r=f_s\dfrac{v-u_r}{v+u_s}$$

También tienes casos en que ambos se mueven  en la misma dirección y sentido , entonces dependiendo  de como consideres los signos respecto de la velocidad del viento tienes una de las dos

$$f_r=f_s\dfrac{v+u_r}{v+u_s}$$


$$f_r=f_s\dfrac{v-u_r}{v-u_s}$$

 En estos casos si $$u_r=u_s$$ es decir ambos tienen la misma velocidad relativa al aire  entonces la frecuencia recibida es igual a la emitida por la fuente.

[ani_pascual]

Hola:

...
Por ello, si la fuente está moviéndose hacia el receptor, elegir el signo menos en el denominador, y si el receptor está moviéndose hacia la fuente, elegir el signo más en el numerador.

En este tercer paso también tengo dudas.

Intento

¿en ambos casos es \( f_r=\cfrac{v+u_r}{v-u_s}\,f_s \)?
...

Si el receptor se dirige hacia la fuente, se toma el signo \( + \) en el numerador; si la fuente se dirige hacia el receptor, se toma el signo \( - \) en el denominador; observa que así \( \dfrac{v+u_r}{v-u_s}>1 \) con lo que \( f_r>f_s \).
En el caso contrario, receptor en sentido contrario a la fuente o fuente en sentido contrario al receptor, se eligen los signos al revés; así \( \dfrac{v-u_r}{v+u_s}<1 \) de donde \( f_r<f_s \).
Se supone que  \( u_r, u_s \) son menores que \( v \).
Richard R Richard lo ha explicado con más detalle.
Saludos

[Marcos Castillo]

Si es \( f (x)=\dfrac{1}{1-x} \) en \( (-1,1) \), una aproximación de la función es mediante el polinomio de MacLaurin de grado \( 1 \), (polinomio de Taylor de grado \( 1 \) alrededor del origen):
\( f(0)=1\\f'(x)=\dfrac{1}{(1-x)^2}\Longrightarrow f'(0)=1 \)
luego \( f(x)\sim f(0)+\dfrac{f'(0)}{1!}x=1+x \).

Perfecto.

El denominador se puede considerar próximo a la unidad porque si es \( |x|<1 \) el término cuadrático \( x^2 \) está próximo a cero. Si fuera el denominador mucho menor que el numerador, entonces el cociente sería muy grande, ¿no?

Vaya error he tenido. También he leído tu segundo mensaje. ¡Gracias!

Richard R Richard, voy a estudiar un poco tu respuesta, que de seguro es certera ¡Gracias!

[Marcos Castillo]

$$(1+x)^{-1}\approx 1-x$$. Con un simple paso de términos.

¿Cómo se consigue este resultado?

También tienes casos en que ambos se mueven  en la misma dirección y sentido , entonces dependiendo  de como consideres los signos respecto de la velocidad del viento tienes una de las dos

$$f_r=f_s\dfrac{v+u_r}{v+u_s}$$

Esto sería con el viento en la dirección y sentido de \( u_r \) y \( u_s \), no?

$$f_r=f_s\dfrac{v-u_r}{v-u_s}$$

Y esta otra ecuación, ¿sería para el viento en contra de \( u_r \) y \( u_s \)?

He querido ilustrar el hilo con un ejemplo ya resuelto en el libro, pero tengo alguna duda:

Sonando el claxon

La frecuencia de la bocina de un coche es \( 400\,Hz \), Si se hace sonar el claxon mientras el coche se mueve con una velocidad \( u_s=34\,\text{m/s} \) (aproximadamente \( 122\,\text{km/h} \)) a través de aire en reposo y hacia un receptor estacionario, encuentre \( (a) \) la longitud de onda del sonido pasando al receptor, y \( (b) \), la frecuencia recibida. Supóngase que la velocidad del sonido en el aire es \( 343\,\text{m/s} \). \( (c) \) Halle la longitud de onda del sonido pasando el receptor y encuentre la frecuencia recibida si el coche está estacionario al tiempo que suena la bocina y un receptor se mueve con velocidad \( u_r=34\text{m/s} \) hacia el coche.

Planteamiento

\( (a) \) Las ondas frente a la fuente se comprimen, así que empleamos el signo menos en \( \lambda=(v\pm{u_s})/f_s \) (Ecuación 15.38). \( (b) \) Calculamos la frecuencia recibida empleando \( f_r=[(v\pm{u_r})/(v\pm{u_s})]/f_s \) Ecuación 15-41a \( (c) \) Halle la longitud de onda del sonido pasando por el receptor y encuentre la frecuencia recibida si el coche está estacionario al tiempo que suena el claxon y el receptor se mueve con velocidad \( u_r=34\,\text{m/s} \) hacia el coche.

Idea \( (c) \) Las ondas frente a la fuente se comprimen, de forma que usamos el signo menos en \( \lambda=(v\pm{u_s})/f_s \) (Ecuación 15-38. \( (b) \) Calculamos la frecuencia recibida usando \( f_r=[(v\pm{u_r})/(v\pm{u_s})]f_s \) (Ecuación 15-4a) \( (c) \) Para un receptor en movimiento, empleamos las mismas ecuaciones que en las partes \( (a) \) y \( (b) \).

Solución

\( (a) \) Usando la ecuación 15-38, calculamos la longitud de onda frente al coche. Frente a la fuente la longitud de onda es más corta, así que empleamos el signo apropiado: \( \lambda=\cfrac{v-u_s}{f_s}=\cfrac{343\text{m/s}-34\text{m/s}}{400\text{Hz}}=0.758\text{m}=\boxed{0,76\text{m}} \)

\( (b) \) usando la ecuación 15-41a, con \( u_r=0 \), resolver para la frcuencia recibida: \( f_r=\cfrac{v\pm{u_r}}{v\pm{u_s}}\, f_s=\cfrac{v}{v-u_s}\,f_s=\Bigg (\cfrac{343}{343-34}\Bigg )(400\text{Hz})=453=\boxed{450\text{Hz}} \)

\( (c) \) 1 Usando la ecuación 15-38 con \( u_s=0 \), calcular la longitud de onda frente a la fuente: \( \lambda=\cfrac{v\pm{u_s}}{f_s}=\cfrac{343\text{m/s}}{400\text{Hz}}=0.858\,\text{m}=\boxed{0.86\text{m}} \)

2- La frecuencia recibida es dada por la ecuación 15-41a con \( u_s=0 \). La fuente se aproxima al receptor, así que la frecuencia aumenta. Elegir el signo correspondiente: \( f_r=\cfrac{v\pm{u_r}}{v\pm{u_s}}\,f_s=\cfrac{v+u_r}{v}\,f_s=\Bigg (1+\cfrac{u_r}{v}\Bigg )=\Bigg (1+\cfrac{34}{343}\Bigg )(400\text{Hz})=\boxed{440\text{Hz}} \)

Comprobar

El receptor se mueve a aproximadamente el \( 10 \)% de la velocidad del sonido y la frecuencia recibida es aproximadamente un \( 10 \)% más alta que la frecuencia de la fuente, lo cual es plausible. (Ojo, la fuente está en reposo)

¿Por qué la longitud de onda frente al coche es 0.76 metros y 0.86 metros frente a la fuente? No debería ser al revés?

He hecho un dibujo para entender qué significa en frente del coche y enfrente de la fuente. A ver:

[ani_pascual]

Hola:

...
Me gustaría compartir con el foro unas dudas acerca de un texto sobre el efecto Doppler no relativista. Menciono las dudas según surgen en el enunciado.
...

Acerca de la fórmula del efecto Doppler, observo que todos los casos se podrían resumir en dos:
1) el emisor y el receptor se aproximan o 2) se alejan, independientemente de si se mueven en la misma dirección con el mismo sentido o contrario, pues si se usa un sistema de referencia solidario con el receptor, éste se podría considerar en reposo, con lo que solo habría dos fórmulas en vez de cuatro. 
1) Si se aproximan: \( f_R=\dfrac{v'}{v'-v'_E}f\Longrightarrow f_R>f \)
2) Si se alejan: \( f_R=\dfrac{v'}{v'+v'_E}f\Longrightarrow f_R<f \)
donde ahora, \( v' \) y \( v'_E \) son respectivamente la velocidad de la onda y la velocidad del emisor relativas al receptor, en lugar de respecto al medio.
Por ejemplo, de todos los casos que hay, si reparamos en uno de ellos, en el que el emisor y el receptor se dirigen uno hacia el otro en sentidos contrarios de la misma dirección, la fórmula a la que se llega es
\( f_R=\dfrac{(v+v_R)}{v-v_E}f\,\,\,(\ast) \), siendo \( v, v_R \) y \( v_E \) respectivamente, la velocidad de la onda, la del receptor y la del emisor respecto al medio. Pero entonces... la frecuencia percibida por el receptor, también se puede expresar como \( f_R=\dfrac{(v+v_R)}{v+v_R-(v_E+v_R)}f=\dfrac{v'}{v'-v'_E}f \), siendo \( v'=v+v_R \) y \( v'_E=v_E+v_R \) respectivamente, la velocidad de la onda y la velocidad del emisor relativas al receptor. Y análogamente, el resto de casos.

\( (\ast) \)

Spoiler

Emisor y receptor se dirigen el uno hacia el otro en sentidos contrarios de la misma dirección, con velocidades respecto al medio \( v_E, v_R \) respectivamente, siendo \( v \) la velocidad de la onda en el medio.
Supongamos que el emisor va de izquierda a derecha y el receptor de derecha a izquierda (véase el gráfico).

Si un frente de onda es emitido por el emisor en el instante \( t_0=0 \), \( d \) es la distancia que lo separa del receptor en ese instante, y \( t \) es el tiempo que transcurre hasta que el receptor recibe el frente de onda, se tiene que la distancia recorrida por el frente de onda hasta el punto de encuentro \( P \) con el receptor es \( vt \) y la recorrida por el receptor es \( v_Rt \) luego \( vt+v_Rt=d \).
El siguiente frente de onda es emitido por el emisor en el instante \( T \) (período de la onda), y se produce cuando el emisor se halla en la posición \( v_ET \). Si \( t' \) es el instante en el que el receptor recibe este segundo frente de onda en la posición \( Q \), se verifica que la distancia recorrida por el frente es \( v(t'-T) \) y la distancia recorrida por el receptor es \( v_Rt' \), luego \( v_ET+v(t'-T)+v_Rt'=d=vt+v_Rt \) de donde
\( (t'-t)(v+v_R)=(v-v_E)T\Longrightarrow \dfrac{1}{T_R}=\dfrac{1}{t'-t}=\dfrac{(v+v_R)}{v-v_E}\cdot \dfrac{1}{T}\Longleftrightarrow \boxed{f_R=\dfrac{v+v_R}{v-v_E}f} \).
Los demás casos se analizan de forma análoga.

[cerrar]

Nota: Con el permiso de Marcos Castillo, he modificado un poco la notación 
Saludos

[Marcos Castillo]

Debo estudiarlo. Ayer imprimí el hilo para comprenderlo mejor, y hoy domingo no puedo.

¡Un saludo, ani_pascual, Rincón!

[ani_pascual]

Hola:

...

Sonando el claxon

La frecuencia de la bocina de un coche es \( 400\,Hz \), Si se hace sonar el claxon mientras el coche se mueve con una velocidad \( u_s=34\,\text{m/s} \) (aproximadamente \( 122\,\text{km/h} \)) a través de aire en reposo y hacia un receptor estacionario, encuentre \( (a) \) la longitud de onda del sonido pasando al receptor, y \( (b) \), la frecuencia recibida. Supóngase que la velocidad del sonido en el aire es \( 343\,\text{m/s} \). \( (c) \) Halle la longitud de onda del sonido pasando el receptor y encuentre la frecuencia recibida si el coche está estacionario al tiempo que suena la bocina y un receptor se mueve con velocidad \( u_r=34\text{m/s} \) hacia el coche.
...

Resolvería así los apartados:
a) Receptor en reposo y coche moviéndose hacia él con velocidad \( v_E=34\, m/s\\f_R=\dfrac{v}{v-v_E}f=\dfrac{343}{343-34}\cdot 400=444,01\,Hz\Longrightarrow \\\lambda=\dfrac{v}{f_R}=\dfrac{343}{444,01}=0,7725\,m \).
b) Ya está hecho en a)\( f_R=\dfrac{v}{v-v_E}f=\dfrac{343}{343-34}\cdot 400=444,01\,Hz \)
c) Coche en reposo y receptor moviéndose hacia él con velocidad \( v_R=34\,m/s\\
f_R=\dfrac{v+v_R}{v}f=\dfrac{(343+34)}{343}\cdot 400=439,65\,Hz\Longrightarrow \\\lambda=\dfrac{v}{f_R}=\dfrac{343}{439,65}=0,7801\,m \)
Saludos

[Richard R Richard]

Estoy con poca señal como para citar todo... pero
Para pequeños  valores de x


$$(1-x)^{-1}=\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{1}{1-x}\dfrac{1+x}{1+x}=\dfrac{1+x}{1-x^2}\approx\dfrac{1+x}{1-\cancelto{0}{x^2}}=1+x$$


Del mismo modo


$$(1+x)^{-1}=\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{1}{1+x}\dfrac{1-x}{1-x}=\dfrac{1-x}{1-x^2}\approx\dfrac{1-x}{1-\cancelto{0}{x^2}}=1-x$$


O simplemente pasar de terminos


$$(1−x)^{−1}=\dfrac{1}{1−x}\approx 1+x $$ entonces $$(1+x)^{-1}=\dfrac{1}{1+x}\approx(1-x)$$


Citar

Esto sería con el viento en la dirección y sentido de ur y us, no?

No , el viento no influye si la velocidad del viento es constante. En esa situación tanto fuente como receptor viajan en en la misma dirección  y sentido.  Típico del coyote corriendo detrás del correcaminos.
Si el correcaminos  va más rápido que el coyote la frecuencia de los beep  que emite el correcaminos se escuchan con menos frecuencia según el coyote, es decir más separados  los beeps.
Si  el coyote lo viene alcanzando mas frecuencia , más juntos  los beeps.