Hola
Demostrar que, si los pares de lados opuestos de un cuadrilátero se prolongan hasta cortarse en dos puntos, entonces el ángulo formado por las bisectrices de los ángulos en estos dos puntos es igual a la mitad de la suma de un par de ángulos opuestos del cuadrilátero.
A los ángulos del cuadrilátero los denoto por su vértice y a los de las bisectrices también. Y al ángulo que forman las bisectrices le llamo \( G \).
- en el triángulo \( APB \): \( 180^o=2P+(180^o-A)+(180^o-B)\quad \Rightarrow{}\quad P=\dfrac{A+B-180^o}{2} \).
- en el triángulo \( BQC \): \( 180^o=2Q+(180^o-B)+(180^o-C)\quad \Rightarrow{}\quad Q=\dfrac{B+C-180^o}{2} \).
- \( EQG \): \( 180^o=G+(180^o-\widehat{PEB})+Q\quad \Rightarrow{}\quad G=\widehat{PEB}-Q \) (*)
- En el triángulo \( PEB \): \( 180^o=P+\widehat{PEB}+(180^o-B)\quad \Rightarrow{}\quad \widehat{PEB}=B-P \). Sustituyendo en (*):
\( G=B-P-Q=B-\dfrac{A+B-180^o}{2}-\dfrac{B+C-180^o}{2}=\dfrac{360^o-A-C}{2}=\dfrac{B+D}{2} \).
Saludos.
