[RH]

La serie:

La suma total acumulada hasta el \( k \)-ésimo primo (\( p_k \)) es \( S_k \).

\( S_k = 1 + T_2 + T_3 + \dots + T_k
 \)

Donde cada término \( T_j \) se define recursivamente:

El primer término \( T_1 = 1 \).
Para \( j \ge 2 \), cada término \( T_j \) se obtiene dividiendo el término anterior (\( T_{j-1} \)) por una "base" específica del primo \( p_j \): \( T_j = \frac{T_{j-1}}{p_j^{1/p_j^2}}
 \)

Límite aproximado para infinito:
\( X = S_k / k\approx{0.6107} \)


Ejemplo de los primeros valores de S:
 
\( B_1 = P_1^{1/P_1^2} = 2^{1/2^2} = 2^{1/4} \approx 1.189207 \)

El segundo término \( T_2 \) es:

\( T_2 = \frac{T_1}{B_1} = \frac{1}{2^{1/4}} \approx \frac{1}{1.189207} \approx 0.840896 \)

La suma acumulada hasta el segundo término es:

\( S_2 = S_1 + T_2 = 1 + 0.840896 \approx 1.840896 \)

\( B_2 = P_2^{1/P_2^2} = 3^{1/3^2} = 3^{1/9} \approx 1.129837 \)

\( T_3 = \frac{T_2}{B_2} = \frac{0.840896}{1.129837} \approx 0.744262 \)

La suma acumulada hasta el tercer término es:

\( S_3 = S_2 + T_3 = 1.840896 + 0.744262 \approx 2.585158 \)

 
\( B_3 = P_3^{1/P_3^2} = 5^{1/5^2} = 5^{1/25} \approx 1.066038 \)

\( T_4 = \frac{T_3}{B_3} = \frac{0.744262}{1.066038} \approx 0.698156 \)

La suma acumulada hasta el cuarto término es:

\( S_4 = S_3 + T_4 = 2.585158 + 0.698156 \approx 3.283314 \)


 

[mathtruco]

Hola RH.

¿Es una pregunta? ¿Intestaste algo y tienes alguna duda en particular? ¿Es una conjetura, y con un programa calculaste a qué tendía la serie?

Como primera mirada, como en cada sumando necesitas el siguiente número primo, entonces uno podría pensar que al no existir una fórmula que genere números primeros, entonces no se podrían calcular los téminos de la serie, y menos su suma.

[Richard R Richard]

Límite aproximado para infinito:
\( X = S_k / k\approx{0.6107} \)

Con el programa

 en Python

Código: [Seleccionar]

from sympy import *
import matplotlib.pyplot as plt
x=1
xx=[]
yy=[]
s=1
tant=1
for a in range(1,10000):
   x=nextprime(x)
   t=tant/x**(1/x**2)
   tant=t
   s+=t
   xx.append(x)
   yy.append(s)
print(s,s/a, s/x)
fig, ax = plt.subplots(1,1,figsize=(10,6),dpi=100)
ax.plot(xx, yy,color = 'tab:blue', marker = '',linestyle = 'solid', label = 'p-s')
ax.set_title('primos/sumatorio/n', loc = "center", fontdict = {'fontsize':14, 'fontweight':'bold', 'color':'tab:blue'})
ax.set_xlabel("primos") # Añade un título con el contenido de la cadena titulo al eje x de ax. Se puede personalizar la alineación y la fuente con los mismos parámetros que para el título principal.
ax.set_ylabel("sumatorio/n") # Añade un título con el contenido de la cadena titulo al eje y de ax. Se puede personalizar la alineación y la fuente con los mismos parámetros que para el título principal.
ax.legend(loc = 'upper right') # Dibuja un leyenda en los ejes ax con los nombres indicados en la lista leyendas.
ax.grid(axis='both', color='k', linestyle='solid') # Dibuja una rejilla . El parámetro axis indica los ejes puede ser
''' 'x' (eje x), 'y' (eje y) o 'both' (ambos)'''
plt.show()plt.savefig("psn.png")

[cerrar]

puedes ver que

$$S_{10000}/10000=0.6109$$
$$S_{10000}/p_{10000}=0.0583$$
y para
$$S_{1000000}/1000000=0.6107$$
$$S_{1000000}/p_{1000000}=0.0394$$

El tema es que hay que seguir viendo si sigue descendiendo  hacia un limite , ...lo que había  escrito luego no tenía sentido.

[RH]

Hola, era una duda.

Según he indagado, preguntando a la IA, deduce esto: ¿Puede ser correcto?

Este número surge de un producto infinito muy específico sobre los números primos:
\(  L =  \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}T_k = \frac{1}{\prod_{j=1}^{\infty} P_j^{1/P_j^2}}{} \)
Donde \( P_j \) es el \( j \)-ésimo número primo.

Este producto se puede reescribir usando la función exponencial:
 \( P_j^{1/P_j^2} = e^{\ln(P_j^{1/P_j^2})} = e^{\frac{1}{P_j^2} \ln P_j}  \)
Entonces, el producto infinito se convierte en la exponencial de una suma infinita:
\(  \prod_{j=1}^{\infty} e^{\frac{\ln P_j}{P_j^2}} = e^{\sum_{j=1}^{\infty} \frac{\ln P_j}{P_j^2}}  \)
Por lo tanto, el límite que has encontrado es:
 \( L = e^{-\sum_{j=1}^{\infty} \frac{\ln P_j}{P_j^2}}  \)

[Richard R Richard]

Hola, era una duda.

Según he indagado, preguntando a la IA, deduce esto: ¿Puede ser correcto?

No lo sé. Pero el límite  tendiendo  a infinito  del cociente  entre un término y su anterior tiende a 1 , luego, no es posible al.enos con este método establecer la convergencia de tu serie.


Si construyes la serie no solo con primos sino con todos los naturales  y la serie converge ,entonces como cada término de tu serie es menor o igual que los términos de la serie con naturales  entonces converge.


Y si cada $$T_i$$ en menor a 1 puedes reemplazar $$T_{i-1}$$ por 1 y ver que pasa con la convergencia, si la serie aun converge la tuya seguro converge. Esto es estudiar


$$\sum \limits_{i=1}^\infty \dfrac 1{i^{1/i^2}}= 1+\dfrac1{\sqrt[4]2}+\dfrac1{\sqrt[9]3}+\dfrac1{\sqrt[16]4}+...$$ si esto converge  tu serie converge y si no converge , no puede este método decir nada sobre tu serie.


Edito esta serie no converge  así  que este último  paso no clarifica nada , prueba con los naturales.

Edito de nuevo , cada vez que googleo algo interesante  y es que tampoco la serie con los naturales  converge, así  que todo este mensaje acaba de perder sentido,  salvo la idea de fondo,  si encuentras  un serie cuyos términos son mayores a cada uno de los que se corresponden con la tuya y esa serie converge entonces la tuya converge.


Como los primos son un subconjunto de los naturales,  la serie tampoco converge, pero creo haberme desviado de tu interés,  ya que quieres ver el cociente entre sumatorio de elementos de la serie y el número  de términos de la serie.


Como los términos de la serie convergencia a una constante $$c$$ mayor a cero la serie diverge, la serie sumatoria  de unos  también  diverge, y el cociente  diverge si $$c>1$$

[Richard R Richard]

Ayudándome de una IA


$$\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{S_n}{\pi(n)}=0.392...$$ valor parecido a uno que ya había  estimado en 0.394, a se i que tu valor 0.6107 debe seguir descendiendo.

[Luis Fuentes]

Hola

La serie:

La suma total acumulada hasta el \( k \)-ésimo primo (\( p_k \)) es \( S_k \).

\( S_k = 1 + T_2 + T_3 + \dots + T_k
 \)

Donde cada término \( T_j \) se define recursivamente:

El primer término \( T_1 = 1 \).
Para \( j \ge 2 \), cada término \( T_j \) se obtiene dividiendo el término anterior (\( T_{j-1} \)) por una "base" específica del primo \( p_j \): \( T_j = \frac{T_{j-1}}{\color{red}p_j^{1/p_j^2}\color{bñack}}
 \)

Por el ejemplo que pones después al calcular \( T_2 \) quizá querías poner \( T_j = \frac{T_{j-1}}{\color{red}p_{j-1}^{1/p_{j-1}^2}\color{black}}
 \)

Aunque no cambia demasiado las ideas detrás del asunto.

Límite aproximado para infinito:
\( X = S_k / k\approx{0.6107} \)

Por el criterio de Soltz:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{S_n}{n}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{S_n-S_{n-1}}{n-(n-1)}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}T_n \)

siempre que el límite de la derecha exista.

En este caso como \( T_1=1 \), \( c_n=p_n^{1/p_n^2}>1 \) y \( T_{n+1}=T_n/c_n \) la sucesión es de términos positivos y decreciente y por tanto convergente.

Así que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{S_n}{n} \) es convergente y lo es al mismo límite que  \( T_n \).

Ayudándome de una IA

$$\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{S_n}{\pi(n)}=0.392...$$ valor parecido a uno que ya había  estimado en 0.394, a se i que tu valor 0.6107 debe seguir descendiendo.

Pero tu divides por \( \pi(n) \) y el divide por \( n \). Tampoco me cuadra que ese cociente de ese límite, si por \( \pi(n) \) se entiende la función contadora de primos ya que \( \pi(n)>n \) y de hecho asintóticamente:

\(  \dfrac{S_n}{\pi(n)}\sim  \dfrac{S_n}{n}\cdot ln(n) \)

asi que si \(  \dfrac{S_n}{n} \) no tiende a cero, entonces  \(  \dfrac{S_n}{\pi(n)} \) debería de diverger.

Si por \( \pi(n) \) te referías al primo enésimo \( p_n \), entonces dado que asintóticamente \( p_n\sim n\cdot ln(n) \):

\(  \dfrac{S_n}{p_n}\sim  \dfrac{S_n}{n\cdot ln(n)}\sim \dfrac{T_n}{ln(n)}\to 0 \)

Como primera mirada, como en cada sumando necesitas el siguiente número primo, entonces uno podría pensar que al no existir una fórmula que genere números primeros, entonces no se podrían calcular los téminos de la serie, y menos su suma.

OJO; no es cierto que no exista una fórmula que genere números primos. La hay. Otra cosa es que se poco efectiva a nivel computacional. O que sea poco manejable para obtener propiedades útiles de los primos. Pero haberla haila:

Saludos.