Estimado Rincón
Quería contrastar con el foro la resolución de una integral para la obtención de la Energía Cinética Relativista en Relatividad Especial
En mecánica clásica, el trabajo realizado por la fuerza neta, es decir, por la resultante de sumar todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es igual a la variación de la energía cinética de la misma. En mecánica relativista, igualaremos la fuerza resultante a la variación temporal del momento lineal relativista. El trabajo realizado por una fuerza resultante puede entonces calcularse e igualarse a la variación de la energía cinética.
Como en mecánica clásica, definiremos la energía cinética como el trabajo realizado por una fuerza neta para acelerar una partícula desde el reposo hasta una cierta velocidad final \( u_f \). Considerando una sola dimensión, se tiene
\( K=\displaystyle\int_{u=0}^{u=u_f}F_{net}\,ds=\displaystyle\int_{u=0}^{u-u_f}\cfrac{dp}{dt}\,ds=\displaystyle\int_{u=0}^{u-u_f}u\,dp=\displaystyle\int_{u=0}^{u-u_f}u\,d\Bigg (\cfrac{mu}{\sqrt{1-(u^2/c^2)}}\Bigg )\qquad{39-21} \)
donde hemos utilizado \( u=ds/dt \). Se deja como problema a resolver que \( d\Bigg (\cfrac{mu}{\sqrt{1-(u^2/c^2)}}\Bigg )=m\Bigg (1-\cfrac{u^2}{c^2}\Bigg )^{-3/2}\,u\,du \) (problema 37)
Problema 37
Demostrar que \( d\Bigg (\cfrac{mu}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\Bigg )=m\Bigg (1-\cfrac{v^2}{c^2}\Bigg )^{-3/2} \)
\( \cfrac{\sqrt{1-\cfrac{u^2}{c^2}}\,m+\cfrac{mu^2}{c^2}\cfrac{1}{\sqrt{1-\cfrac{u^2}{c^2}}}}{1-\cfrac{u^2}{c^2}} \)
Se multiplican el numerador y el denominador por la derecha por \( \sqrt{1-\cfrac{u^2}{c^2}} \)
\( \cfrac{\sqrt{1-\cfrac{u^2}{c^2}}\sqrt{1-\cfrac{u^2}{c^2}}\,m+\cfrac{mu^2}{c^2}\cfrac{\sqrt{1-\cfrac{u^2}{c^2}}}{\sqrt{1-\cfrac{u^2}{c^2}}}}{\Bigg (1-\cfrac{u^2}{c^2}\Bigg )\sqrt{1-\cfrac{u^2}{c^2}}} \)
\( =\cfrac{\Bigg (1-\cfrac{u^2}{c^2}\Bigg )m+\cfrac{mu^2}{c^2}}{\Bigg (1-\cfrac{u^2}{c^2}\Bigg )^{3/2}}=m\Bigg (1-\cfrac{u^2}{c^2}\Bigg )^{-3/2} \)
\( d\Bigg (\cfrac{mu}{\sqrt{1-(v^2/c^2)}}\Bigg )=m\Bigg (1-\cfrac{u^2}{c^2}\Bigg )^{-3/2}\,u\,du \)
\( d\Bigg (\cfrac{mu}{\sqrt{1-(u^2/c^2)}}\Bigg )=m\Bigg (1-\cfrac{u^2}{c^2}\Bigg )^{-3/2}\,u\,du \)
\( K=\displaystyle\int_{u=0}^{u=u_f}u\,d\Bigg (\cfrac{mu}{\sqrt{1-(u^2/c^2)}}\Bigg )=\displaystyle\int_0^{u_f}m\Bigg (1-\cfrac{u^2}{c^2}\Bigg )^{-3/2}\,u\,du \)
\( =mc^2\Bigg (\cfrac{1}{\sqrt{1-(u^2/c^2)}}-1\Bigg ) \)
Esta última igualdad de arriba es la que deseo demostrar. Ahí va:
\( K=\displaystyle\int_0^{u_f}m\Bigg (1-\cfrac{u^2}{c^2}\Bigg )^{-3/2}\,u\,du \)
\( \Bigg (1-\cfrac{u^2}{c^2}\Bigg )=t\Rightarrow{-\cfrac{2u}{c^2}\,du=dt}\Rightarrow{u\,du=-\cfrac{c^2}{2}\,dt} \)
\( m\cdot\Big (-\cfrac{c^2}{2}\Big )\displaystyle\int_0^{u_f}t^{-3/2}\,dt\Rightarrow{mc^2}\cdot{t^{-1/2}}\Bigg |_0^{u_f} \)
\( \therefore{K=mc^2\Bigg (\cfrac{1}{\sqrt{1-\big (v_f^2/c^2\big )}}-1\Bigg )} \)
¿Está correcto?
En esta última expresión, la velocidad final \( v_f \) es arbitraria, y por tanto el subíndice \( f \) es superfluo.
Un saludo
