[david__bernal]

Hola a todos,
Quería compartir con la comunidad un pequeño estudio y una herramienta que he desarrollado para resolver una variante de las multiplicaciones mágicas (inspiradas en los problemas de Henry Dudeney). El reto consiste en encontrar pares de números \( (x, y) \) tales que \( x \) tenga cualquier cantidad de cifras, \( y \) sea un número de dos cifras, y su producto resulte en una inserción de dígitos.
Por ejemplo:
\( 267606 \times 81 = 2{\color{red}1}6760{\color{red}8}6 \)
Para sistematizar la búsqueda de estas soluciones, he planteado la siguiente igualdad general a la cual se llega tras  un par de maniobras de despeje:
\( \displaystyle x(10(c - 1) + d) = 9a \cdot 10^n + d \cdot 10^n + 10c - 9b \)
Donde se definen:
- \( y = 10c + d \)
- \( x = a \cdot 10^{n-1} + 10x' + b \)
- \( 10^2 \le x < 10^n \)
He logrado catalogar 40 casos base en una tabla que facilita encontrar familias infinitas de soluciones mediante el uso de congruencias y el orden de 10 módulo \( m \).
He subido el proyecto completo, la tabla de los 40 valores y las demostraciones a mi repositorio de GitHub, por si alguno quiere chusmearlo:
https://github.com/BernalGerar/Multiplicaciones-Magicas

Agradecimientos y revisiones:
Gran parte de la base teórica que he utilizado para este análisis la he aprendido del libro Introducción a la Teoría de Números de Carlos Ivorra.

He revisado los cálculos de los 40 casos, pero si alguien detecta algún errorcillo en la tabla o en el planteamiento de las congruencias, le agradecería mucho que me lo hiciera saber para corregirlo. ¡Toda ayuda es bienvenida!

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola, feliz año, interesante rompecabezas.,cambio un poco tu nomenclatura para preguntar.
Tu partes de 2 números de la forma $$'abc'$$ y $$'xy'$$ , es decir un número  de varias cifras compuesto de 3 partes, $$ a, b, c$$, la pregunta  en si en tu definición  puede ser valido qué alguna parte sea vacía  (distinto a de digito 0), resumiendo si $$x$$ o $$y$$ que son números  de una sola cifra, pueden estar a inicio o fin del número  resultado del producto o bien si pueden ser consecutivos en orden y además  si $$'a'$$ o $$'c'$$ pueden tener más de una cifra , y si ese número  de cifras es el mismo para ambos.

Si es libre la elección hay muchas más opciones de construcción para analizar  ,en particular  veo escogiste $$'abc' =a10^n+b10^m+c$$
Donde $$n$$ es el nro de cifras de $$'bc'$$ y $$m$$ es el de $$'c'$$

$$'xy'=x10+y$$
De allí veo que hay 2 opciones de construcción
Una tipo
$$'axbyc'=a10^{(n+2)}+b10^{(m+1)}+c+x10^{(n+1)}+y10^{(m+1)}$$
Y otra
$$'aybxc'=a10^{(n+2)}+b10^{(m+1)}+c+y10^{(n+1)}+x10^{(m+1)}$$

Como no he desarrollado  ecuaciones todavía  no sé si algo impedirá el primer tipo , ya que del segundo das ejemplo.

En el archivo donde están los números  solución, no me he podido dar cuenta  de cuales  han sido los números  origen.
Esto sin considerar  las perturbaciones que los acarreos pueden traer.

Como $$'abc'$$ y el producto tanto $$'axbyc'$$ o $$'aybxc'$$ terminan en $$'c'$$ tiene que suceder que $$'c'$$ por $$'y'$$ sea igual a $$'c'$$ lo que me hace pensar que $$'c'$$, en adelante voy a quitar comillas  sabiendo  discernir entre números  de su construcción en orden, debe tener solo una cifra para que $$y$$ no tenga que ser necesariamente $$1$$ pues $$x$$ aporta de la segunda cifra en adelante y para no alterar el orden de $$c$$ cuanto más cifras tenga $$c$$ más
  se vuelve necesario que $$x=0$$ pero esto hace que en vez de ser un número  de 2 cifras sea de una sola y es incompatible.
Así  casi seguro $$c$$ sea de una sola cifra reduciendo los casos a $$c=0$$ o
$$y=1$$  o $$c=1$$ o pares como $$(c,y)=(2,6),(4,6),(6,6),(8,6),(5,3),(5,5),(5,7),(5,9)$$
Por ahí  lo que expongo es a priori , pero quizás haya algún  caso lo refute.


Tampoco tengo claro como eliges los casos en que $$a,b$$ o $$c$$ tengan cifras iguales a las de $$x$$ o $$y$$.

[david__bernal]

Hola Richard, igual igual, feliz año. Se me escapo, jsjs, el github lo tenia aclarado, pero acá no lo puse, pero tiene que ser \(  0 \leq{a, b, c, d} \leq{9} \)

Lo que hago es, recorro todas las posibilidades para esas cifras:
\(
\begin{array}{|c|l|r|}
\hline
\text{a} & \text{b} & \text{c} & \text{d}\\
\hline
0 & 0 & 0 & 0\\
\hline
0 & 0 & 0 & 1\\
\hline
0 & 0 & 1 & 0\\
\hline
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
\hline
9 & 9 & 9 & 9
\end{array}
 \)

Alugnos casos no puden darse, como la primera de la tabla. todos ellos los corro en el codigo, y busca algun exponente \(  n \leq{m}  \) tal que \( m | 9a\cdot10^n+d\cdot10^n+10c−9b \) ,donde \( m = 10(c - 1) + d \)

[Richard R Richard]

Bueno , de regreso en Argentina, pude tomar un Pc, con un pequeño código pude hallar esos 4 en pocos segundos,

1  con el $$ 3615 $$ por $$ 93 $$  sale el $$ 336195 $$
2  con el $$ 14085 $$ por $$ 81 $$  sale el $$ 1140885 $$
3  con el $$ 16394 $$ por $$ 71 $$  sale el $$ 1163974 $$
4  con el $$ 267606 $$ por $$ 81 $$  sale el $$ 21676086 $$

Ya van minutos y no hallo mas , por lo que dejo el pc calculando, y retomo mi trabajo ya renovado...

Cual es la razón o justificación de Dudeney, no pude hallar nada.. sobre el posicionamiento de las cifras del factor en la 2da y la penúltima  del número

Edito
Agrego un par mas

5  con el $$ 26760564 $$ por $$ 81 $$  sale el $$ 2167605684 $$
6  con el $$ 59302326 $$ por $$ 96 $$  sale el $$ 5693023296 $$

Hasta el 10000000 no hay mas, atenderé al algoritmo que presentaste, a ver si va mas rápido

Saludos

[david__bernal]

Hola Richard, gracias, ahora no puedo hacer mucho, lo único que hice fue comparar con la tablilla de valores que me arme en el github, y por suerte están todos.

Pero de paso dejo, con los que encontramos se pueden hallar inifitas más.
tomo el primero que has encontrado.

tenemos que \(  y = 3615, x = 93, m = 83, n = 4.  \)
tenemos la ecuacion:
\(  27 \cdot 10^n + 3 \cdot 10^n + 90 - 45 \equiv{0} \pmod{83}  \)
reduciendo
\(  10^n \equiv{40} \pmod{83}  \)
se calcula el orden \(  o_{83}(10) = 41  \)
luego
\(  n = 4 + 41k  \)
entonces \(  y = \displaystyle\frac{30 \cdot 10^{4 + 41k} + 45}{83}  \)

[Richard R Richard]

Para sistematizar la búsqueda de estas soluciones, he planteado la siguiente igualdad general a la cual se llega tras  un par de maniobras de despeje:
\( \displaystyle x(10(c - 1) + d) = 9a \cdot 10^n + d \cdot 10^n + 10c - 9b \)
Donde se definen:
- \( y = 10c + d \)
- \( x = a \cdot 10^{n-1} + 10x' + b \)
- \( 10^2 \le x < 10^n \)

Hola le he dado varias vueltas y no veo como llegas a la ecuación que propones, si no es molestia podrías desarrollarla. o bien decir de donde partes para que haciendo despejes llegues a ella.


Por mi parte Solo pude avanzar en  restricciones que reducen las 10000 combinaciones de números $$a,b,c,d$$ a unas pocas miles, pero igual sigo al tanteo, y los tiempos de ejecución  se estiran igual.

Hola Richard, gracias, ahora no puedo hacer mucho, lo único que hice fue comparar con la tablilla de valores que me arme en el github, y por suerte están todos.

Pero de paso dejo, con los que encontramos se pueden hallar infinitas más.
tomo el primero que has encontrado.

tenemos que \(  y = 3615, x = 93, m = 83, n = 4.  \)
tenemos la ecuacion:
\(  27 \cdot 10^n + 3 \cdot 10^n + 90 - 45 \equiv{0} \pmod{83}  \)
reduciendo
\(  10^n \equiv{40} \pmod{83}  \)
se calcula el orden \(  o_{83}(10) = 41  \)
luego
\(  n = 4 + 41k  \)
entonces \(  y = \displaystyle\frac{30 \cdot 10^{4 + 41k} + 45}{83}  \)

Al no entender lo primero , no te puedo seguir.


En tu lista de 40 , encontré 6 ...claro los mas bajos, pero igual veo que 2 números allí el 27 y el 15 que  tienen menos de 3 cifras que son las necesarias para un número de la forma $$x=ax'b$$
Y de los que proponía buscar que tienen las cifras en otra posición simétrica no encontré ninguno hasta el 100000000.

Spoiler

Vi que propones evaluar cada combinación de dígitos sabiendo que $$a$$ y $$c$$ no son $$0$$ pero


Hay varias restricciones que hacen que no todas las combinaciones sean validas

si
$$b=0,1 \to d=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$$
$$b=2,4,6,8\to d=1,6$$
$$b=3,7,9\to d=1$$
$$b=5\to d=1,3,5,7,9$$
esto es para que la ultima cifra del producto $$bd$$ sea $$b$$

$$a=1\to c=9$$
$$a=2\to c=5,6,7,8,9$$
$$a=3,\to c=3,4,5,6,7,8,9$$
$$a=5,6,7,8\to c=2,3,4,5,6,7,8,9$$
$$a=9\to c=1,2,3,4,5,6,7,8,9$$

y esto para que el producto final tenga la posibilidad de alcanzar la cantidad de cifras $$n+2$$

[cerrar]

[david__bernal]

Hola Richard, ahi lo hago, ahora con un poco más de tiempo  .

Queremos que el producto \( x \) con \( y \) cumpla \(  x( c\cdot 10 + d ) = a\cdot 10^{n+1} + d\cdot 10^{n} + 100\cdot x' + 10\cdot c + b \).
luego
\(  x( c\cdot 10 + d ) = 10a\cdot 10^{n-1} + 10\cdot 10\cdot x' + 10b + 9a\cdot 10^n + d\cdot 10^n + 10c - 9b  \),
entonces
\(  x( c\cdot 10 + d ) = 10x + 9a\cdot 10^n + d\cdot 10^n + 10c - 9b  \), finalmente
\(  x( 10(c - 1) + d ) = 9a\cdot 10^n + d\cdot 10^n + 10c - 9b = (9a + d)\cdot 10^n + 10c - 9b \)

De acá se deduce que \(  m = 10(c - 1) + d \mid 9a\cdot 10^n + d\cdot 10^n + 10c - 9b  \),
Por lo que teniendo en cuenta que en un anillo \( \mathbb{Z}_m \) para cada elemento a de él se tiene que existen naturales \(  m < n  \) tales que \( a^m = a^n \), encontraremos como mucho una potencia repetida en el exponente \(  |\mathbb{Z}_m|  \), eso nos ayuda a reducir la busqueda de n de la ecuacion una ves damos valores a \(  a, b, c, d  \), a \(  n \leq{m}  \).

Sip, hay algunas posibilidades que no se dan, gracias por el chekeo, la verdad no las tome en cuenta, las corri todas por igual salvo algunas porque me largaban error, como c = 1, d = 0, 1.
Despues le doy una miradita, gracias.
Luego prosigo.