[Norges Grey Pérez]

Hola.

!! Una feliz navidad para todos !!


Sea \( Pt = d_1 d_2 \dots d_k \) un número primo con \( k \geq 2 \) dígitos. Definimos la función:

\[
f_n(Pt) = \text{concatenación}\left(d_1^n, d_2^n, \dots, d_k^n\right)
\]

para \( n \in \mathbb{N} \), \( n \geq 2 \), donde la concatenación se realiza en el orden de los dígitos de \( Pt \).

**Conjetura (CCE):** 
Para todo primo \( Pt \geq 10 \), existe un  entero \( n \geq 2 \) tal que \( f_n(Pt) \) es un número primo.

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### **2. Ejemplos básicos: primos de dos cifras**

- \( Pt = 13 \): 
  - \( f_2(13) = \text{concat}(1^2, 3^2) = 19 \) ✅ primo 
  - \( f_3(13) = \text{concat}(1^3, 3^3) = 127 \) ✅ primo 
  - \( f_4(13) = \text{concat}(1^4, 3^4) = 181 \) ✅ primo 

- \( Pt = 71 \): 
  - \( f_2(71) = \text{concat}(7^2, 1^2) = 491 \) ✅ primo 
  - \( f_4(71) = \text{concat}(7^4, 1^4) = 24011 \) ✅ primo 
  - \( f_5(71) = \text{concat}(7^5, 1^5) = 168071 \) ✅ primo 

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### **3. Ejemplos no triviales: primos de tres y cuatro cifras**

#### **Ejemplo 1: \( Pt = 103 \) (3 cifras)**

Dígitos: \( d_1 = 1 \), \( d_2 = 0 \), \( d_3 = 3 \)

- \( f_2(103) = \text{concat}(1^2, 0^2, 3^2) = 109 \) ✅ primo 
- \( f_3(103) = \text{concat}(1^3, 0^3, 3^3) = 1027 = 13 \times 79 \) ❌ 
- \( f_4(103) = \text{concat}(1^4, 0^4, 3^4) = 1081 = 23 \times 47 \) ❌ 
- \( f_5(103) = \text{concat}(1^5, 0^5, 3^5) = 10243 \) ✅ primo 
- \( f_6(103) = \text{concat}(1^6, 0^6, 3^6) = 10729 \) ✅ primo 

Se observan múltiples valores de \( n \) que generan primos.

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#### **Ejemplo 2: \( Pt = 1031 \) (4 cifras)**

Dígitos: \( 1, 0, 3, 1 \)

- \( f_2(1031) = \text{concat}(1^2, 0^2, 3^2, 1^2) = 1091 \) ✅ primo 
- \( f_3(1031) = \text{concat}(1^3, 0^3, 3^3, 1^3) = 10271 \) → ¿primo? 
  - No divisible por primos ≤ \( \sqrt{10271} \approx 101.3 \) 
  - **10271 es primo** ✅ 
- \( f_4(1031) = \text{concat}(1^4, 0^4, 3^4, 1^4) = 10811 = 19 \times 569 \) ❌ 
- \( f_5(1031) = \text{concat}(1^5, 0^5, 3^5, 1^5) = 102431 \) → ¿primo? Sí ✅ 

Este ejemplo muestra que incluso para primos de cuatro cifras, la secuencia \( f_n(Pt) \) puede generar varios primos.

Nota para ferriva y los amantes de otras bases numéricas: La conjetura es válida también para otras bases. Espero que sea de tu agrado ferriva.

Gracias y saludos.

[Richard R Richard]

Feliz Navidad!!!




Tu conjetura  con infinitos grados de libertad para elegir exponente, es imposible que no sea cierta,solo un caso entre infinitos hace que sea cierta, casi no habría nada que demostrar.


Solo una muy extraña casualidad podría darse para que un número primo inicial no haya un ejemplo.  La suma y resta de todas de sus potencias de sus cifras se sabe que nunca dan cero (último teorema de Fermat), pero que alguna vez dan un primo parece bastante  intuitivo.

[Norges Grey Pérez]

Hola Richard.

Gracias por dar tu punto de vista.
Sinceramente creo que no comprendiste del todo la propuesta.
No hablo de suma o resta de potencias, sino de una concatenación ordenada de potencias, con la particularidad de que la potencia es la misma para cada dígito.

Te imaginas un primo de 100 cifras ?
Cada una de sus cifras debe ser elevada a una misma potencia, y concatenar en el mismo orden cada potencia, y aún así debe formarse un nuevo primo.

Aunque la lógica diga que en algún momento aparecerá un primo tal, con eso no basta.

Pasa igual que con los primos gemelos, la lógica dice que deben haber infinitos de ellos, pero aún así no es suficiente para demostrarlo.

Gracias.

[Richard R Richard]

Aunque la lógica diga que en algún momento aparecerá un primo tal, con eso no basta.

Pasa igual que con los primos gemelos, la lógica dice que deben haber infinitos de ellos, pero aún así no es suficiente para demostrarlo.

Bueno veamos que pasa con el primo $$N_{19} = 1.111.111.111.111.111.111$$  ya tienes un caso cierto, para cualquier exponente n
El caso es que como dices basta solo un caso en que al elevar cada cifra a $$n$$ , el número resulte primo, para que tu conjetura sea cierta, y como hay infinitos exponentes, debe ser cierta.
Para que no lo sea, tiene que  haber una relación algebraica para cada exponente $$n$$ , que permita separar en factores el numero compuesto que siempre se obtiene, y eso si que es "casi imposible que suceda" factorizar para separar dos polinomios...


Si $$c_i$$ son las cifras del 0 al 9  y $$m_i$$ es la cantidad de veces que aparece esta cifra en el primo original  entonces


$$\color{red}\cancel {N_n=\sum\limits_{i=0}^9 m_ic_i^n=p_{1n}p_{2n}}\color{black}$$ me equivoque hice la suma pero es la concatenación.

Si $$c_i$$ son las cifras del 0 al 9 del primo original contadas del último al primero y $$m$$ el número  de cifras del primo original  y $$s_m$$ es la cantidad de cifras de $$c_i^n$$

$$N=\sum\limits_{i=0}^{m-1} c_i^n10^{\left(\sum\limits_{j=0}^{i}s_j\right)}=p_{1n}p_{2n}$$
Es decir para cualquier exponente $$n$$ deben existir dos numero que multiplicados entre si den $$N_n$$ porque es compuesto, es decir siempre podrías factorizar en al menos 2 polinomios de grados menores a $$n$$...
y eso sí es "difícil" que suceda... solo puede refutarse encontrando una relación de ese estilo, y no "creo" que la haya.

[Norges Grey Pérez]

Hola Richard.

Muy interesante ese primo mencionado compuesto por 19 unidades del # 1.
Pasa igual que con el 11, se pueden elevar cada uno de sus dígitos a cualquier exponente y se mantiene el mismo primo. De esa manera se cumple la conjetura para esos 2 primos.
Donde no estoy seguro es de que con solo estos dos ejemplos se pueda probar la conjetura.

Entiendo que no hay forma corta para encontrar un contra ejemplo, así que ya es un buen punto haber encontrado ese primo que has propuesto.

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola Richard.

Muy interesante ese primo mencionado compuesto por 19 unidades del # 1.
Pasa igual que con el 11, se pueden elevar cada uno de sus dígitos a cualquier exponente y se mantiene el mismo primo. De esa manera se cumple la conjetura para esos 2 primos.

Que se pueda probar para esos dos números o para cualquiera de los infinitos números que teniendo todas sus cifras 1 y  que sean primos...  no sirve de nada, porque de eso no va la cosa , como tu dices...

Donde no estoy seguro es de que con solo estos dos ejemplos se pueda probar la conjetura.

Para nada tienes que probarlo para cada primo, para que sea cierta o encontrar uno que no cumpla , para que sea falsa.


El tema es que tienes  que conseguir un primo que al elevar todas sus cifras a cualquier exponente $$n$$ y concatenarlas siempre resulte en un número compuesto, para que de ese único modo tu conjetura no fuera cierta, y como veras eso es bastante improbable, además  lo veo casi imposible de demostrar (al menos a mi no se me ocurre nada como para empezar)

Entiendo que no hay forma corta para encontrar un contra ejemplo, así que ya es un buen punto haber encontrado ese primo que has propuesto.

Claro no hay forma corta si te refieres a probar  1 por 1 todos los primos que aparte de ser infinitos, veras  que se puede probar hasta exponentes  tan grandes por poner un ejemplo un primo $$p$$ con todas sus cifras elevadas hasta el exponente $$n=10^{10^{100000}}$$  y comprobar que todos los números generados por concatenación, resultan ser todos compuestos, pero puede que el siguiente sea primo y tu conjetura se cumple, y todo ese esfuerzo es vano.
Por eso la única forma es encontrar un argumento algebraico en que el número creado por la concatenación de las cifras de un determinado primo $$p$$ elevadas a cualquier exponente $$n$$ resulte en un número compuesto siempre. Y eso si es difícil de digerir que pueda resultar cierto aunque no veo forma de probarlo.