Yo habría probado que \( -(-n)=n \) usando la definición, así:
\( (-n)+n=0=n+(-n) \)
Por otra parte, para probar que \( (-m)\cdot (-n)=m\cdot n \) lo habría probado así:
Primero se prueba que \( (-m)\cdot (-n)=-[(-m)\cdot n] \) lo cual es cierto ya que
\( (-m)\cdot n + (-m)\cdot (-n)=(-m)\cdot [n+(-n)]=(-m)\cdot 0=0 \) y
\( (-m)\cdot (-n)+(-m)\cdot n=(-m)\cdot [(-n)+n]=(-m)\cdot 0=0 \)
y ahora se prueba que \( (-m)\cdot n=-(m\cdot n) \), lo cual es cierto porque
\( (-m)\cdot n+m\cdot n=[(-m)+m)]\cdot n=0\cdot n=0 \) y
\( m\cdot n+(-m)\cdot n=[m+(-m)]\cdot n=0\cdot n=0 \).
De esta manera...
\( (-m)\cdot(-n)=-[(-m)\cdot n]=-[-(m\cdot n)]=m\cdot n \)
