[JCB]

Hola a tod@s.

Propongo el siguiente ejercicio (inventado): un vehículo de masa total \( m \) (vehículo más pasajeros) circula por una autopista (totalmente horizontal) a una velocidad constante \( v_0 \). De pronto, el conductor observa una retención situada más adelante y tan cercana, que puede resultar un riesgo de colisión. Evidentemente, en estas situaciones, se trata de aplicar la fuerza máxima al pedal de freno, y dejar que la gestión electrónica de los frenos (vamos a suponer que el vehículo está dotado de ABS) se encargue de efectuar una frenada sin deslizamiento (el coeficiente de rozamiento estático entre el asfalto y el caucho de los neumáticos es \( \mu_e \)), suponiendo rodadura pura.

Pues bien, si la distancia entre el vehículo y la retención es \( e \) (no vamos a tener en cuenta a los tiempos de reacción humanos), determinar cuál debe ser la fuerza de frenado en cada eje para que el vehículo no llegue a colisionar contra los vehículos detenidos. Nota: la posición del centro de masas del vehículo se encuentra justo en la mitad de la distancia entre ejes (para simplificar), y a una altura \( h \) respecto del asfalto.

Saludos cordiales,
JCB.

[ani_pascual]

Hola:

...
Propongo el siguiente ejercicio (inventado): un vehículo de masa total \( m \) (vehículo más pasajeros) circula por una autopista (totalmente horizontal) a una velocidad constante \( v_0 \). De pronto, el conductor observa una retención situada más adelante y tan cercana, que puede resultar un riesgo de colisión. Evidentemente, en estas situaciones, se trata de aplicar la fuerza máxima al pedal de freno, y dejar que la gestión electrónica de los frenos (vamos a suponer que el vehículo está dotado de ABS) se encargue de efectuar una frenada sin deslizamiento (el coeficiente de rozamiento estático entre el asfalto y el caucho de los neumáticos es \( \mu_e \)), suponiendo rodadura pura.

Pues bien, si la distancia entre el vehículo y la retención es \( e \) (no vamos a tener en cuenta a los tiempos de reacción humanos), determinar cuál debe ser la fuerza de frenado en cada eje para que el vehículo no llegue a colisionar contra los vehículos detenidos. Nota: la posición del centro de masas del vehículo se encuentra justo en la mitad de la distancia entre ejes (para simplificar), y a una altura \( h \) respecto del asfalto.
...

Una propuesta...  ¿No hay que dejarlo en función de la distancia \( d \)  entre los ejes?

Spoiler

Si llamamos \( N_1,N_2 \) a la reacción normal del apoyo del suelo en las ruedas delantera y trasera y usando las ecuaciones del movimiento de traslación y rotación, se ha de cumplir
\( \left\{\begin{array}{l}-F_r=ma\\N_1+N_2-mg=0\\-F_rh+N_1\dfrac{d}{2}-N_2\dfrac{d}{2}=0\end{array}\right. \)
La máxima de la resultante de las fuerzas horizontales para que no haya deslizamiento será la fuerza máxima de rozamiento estático, y si frena solo con la rueda trasera...
\( ma=\mu_eN_2 \) y tras despejar y sustituir \( \cdots \Longrightarrow ma=\dfrac{\mu_emgd}{2(d\textcolor{blue}{+\mu_e}h)} \).
Así, la fuerza pedida es \( ma=\dfrac{\mu_emgd}{2(d\textcolor{blue}{+\mu_e}h)} \) donde es \( d \) la distancia entre ejes.

[cerrar]

Editado 
Saludos

[Richard R Richard]

Cinemática $$0-v_0^2=2ae$$


Estática horizontal

$$F_{f1}+F_{f2}=-\mu_eN_1-\mu_eN_2=ma$$


Estática vertical
$$N_1+N_2-mg=0$$


Momento 1er eje
$$\sum M_1=0=h_{cm}ma+d_e/2mg-N_2d_e$$


Momento 2do eje
$$\sum M_2=0=h_{cm}ma-d_e/2mg+N_1d_e$$


Siempre  el primer eje carga con más fuerza de frenado qué el segundo.
Y siempre hay que verificar que el $$\mu_e$$ que surge en el equilibrio durante la resolución del problema sea menor que $$\mu_{e_{max}}$$ Osea el máximo que no permite deslizar.
Aquí la altura de los ejes de las ruedas juegan un papel secundario  pues son los que transmiten fuerza entre eje y vehículo, pero son estaticos (suponemos que no cambia de ángulo respecto de la horizontal el piso del vehiculo, suspensión rígida) 
Cuanto  más alto el eje más fácil es que el 2 eje trate de rotar  sobre el primero.

[JCB]

Hola a tod@s.

El planteamiento que hice es similar a los publicados por ani_pascual y por Richard, aunque no entiendo por qué ani_pascual escribió que solo frenan las ruedas traseras.

\( \sum{F_y}=0 \)

\( N_1+N_2-mg=0 \) (1)

\( \sum{M_1}=0 \)

\( mah-mg\dfrac{d}{2}+N_2d=0 \)

\( N_2=\dfrac{mg}{2}-\dfrac{mah}{d} \)

De (1), \( N_1=\dfrac{mg}{2}+\dfrac{mah}{d} \)

Como la gestión electrónica (y mecánica), se encarga de evitar el deslizamiento,

\( F_1=\mu_eN_1=\mu_e\dfrac{mg}{2}+\mu_e\dfrac{mah}{d} \)

\( F_2=\mu_eN_2=\mu_e\dfrac{mg}{2}-\mu_e\dfrac{mah}{d} \)

Hasta aquí, el objeto del ejercicio.

Se observa que \( F_1+F_2=\mu_emg \). Luego, la desaceleración que proporciona el sistema de frenado es \( a=\mu_eg \).

Por otra parte, la desaceleración necesaria para detener al vehículo en la situación indicada en el enunciado es
\( \cancelto{0}{v^2}=v_0^2-2ae \)

\( a=\dfrac{v_0^2}{2e} \)

Se debe cumplir que la desaceleración proporcionada por el sistema de frenado sea igual o superior a la necesaria,

\( \mu_eg\geq\dfrac{v_0^2}{2e} \)

\( v_0\leq\sqrt{2\mu_eeg} \). Suponiendo unas condiciones ideales (coeficiente de rozamiento estático constante, rodadura pura, horizontalidad de la calzada, fuerza de frenado constante, etc.), esta es la condición necesaria para que no haya colisión.

Nota: anteriormente había publicado un mensaje pero lo borré. En este, creo que me he explicado algo mejor.

Saludos cordiales,
JCB.

[ani_pascual]

Hola:

... aunque no entiendo por qué ani_pascual escribió que solo frenan las ruedas traseras.

No sé en qué estaba pensando... quizás en mi bicicleta 

...

\( \sum{F_y}=0 \)

\( N_1+N_2-mg=0 \) (1)

\( \sum{M_1}=0 \)

\( mah-mg\dfrac{d}{2}+N_2d=0 \)

\( N_2=\dfrac{mg}{2}-\dfrac{mah}{d} \)

De (1), \( N_1=\dfrac{mg}{2}+\dfrac{mah}{d} \)

Como la gestión electrónica (y mecánica), se encarga de evitar el deslizamiento,

\( F_1=\mu_eN_1=\mu_e\dfrac{mg}{2}+\mu_e\dfrac{mah}{d} \)

\( F_2=\mu_eN_2=\mu_e\dfrac{mg}{2}-\mu_e\dfrac{mah}{d} \)

Hasta aquí, el objeto del ejercicio.

Se observa que \( F_1+F_2=\mu_emg \). Luego, la desaceleración que proporciona el sistema de frenado es \( a=\mu_eg \).

Por otra parte, la desaceleración necesaria para detener al vehículo en la situación indicada en el enunciado es
\( \cancelto{0}{v^2}=v_0^2-2ae \)

\( a=\dfrac{v_0^2}{2e} \)

Se debe cumplir que la desaceleración proporcionada por el sistema de frenado sea igual o superior a la necesaria,

\( \mu_eg\geq\dfrac{v_0^2}{2e} \)

\( v_0\leq\sqrt{2\mu_eeg} \). Suponiendo unas condiciones ideales (coeficiente de rozamiento estático constante, rodadura pura, horizontalidad de la calzada, fuerza de frenado constante, etc.), esta es la condición necesaria para que no haya colisión.
...

A mí me has convencido  Entiendo que entonces la respuesta a lo que pedías, es decir, la fuerza mínima de frenado en cada eje sería
\( F_1=\mu_em\left(\dfrac{g}{2}+\dfrac{v_0^2h}{2ed}\right)\\F_2=\mu_em\left(\dfrac{g}{2}-\dfrac{v_0^2h}{2ed}\right) \)
Saludos

[JCB]

... / ...
Entiendo que entonces la respuesta a lo que pedías, es decir, la fuerza mínima de frenado en cada eje sería
\( F_1=\mu_em\left(\dfrac{g}{2}+\dfrac{v_0^2h}{2ed}\right)\\F_2=\mu_em\left(\dfrac{g}{2}-\dfrac{v_0^2h}{2ed}\right) \)
... / ...

Hola a tod@s.

No exactamente, ani_pascual. Realicé el cálculo de la fuerza de frenado en rueda y por eje, estableciendo que \( F_1=\mu_eN_1 \) y \( F_2=\mu_eN_2 \). Esto implica que la desaceleración sea la máxima \( (a=\mu_eg) \). Por este motivo, en las expresiones de \( F_1 \) y de \( F_2 \), la desaceleración es \( a=\mu_eg \). Además, son las fuerzas de frenado máximas que debe proporcionar el sistema de frenado, ya que si se superasen, se bloquearían los neumáticos, comenzando a deslizar y entonces entraría en juego el coeficiente de rozamiento dinámico (inferior al estático), provocando una mayor distancia de detención.

Cuando se consideran los dos ejes, utilizando únicamente las 3 ecuaciones fundamentales de la Dinámica, no es posible determinar las 4 incógnitas \( (F_1, F_2, N_1 \) y \( N_2) \), a menos que se establezcan las condiciones \( F_1=\mu_eN_1 \) y \( F_2=\mu_eN_2 \).

Saludos cordiales,
JCB.

[ani_pascual]

Hola, JCB:

...
Además, son las fuerzas de frenado máximas que debe proporcionar el sistema de frenado, ya que si se superasen, se bloquearían los neumáticos, comenzando a deslizar ...

Entiendo que para que no se bloqueen las ruedas ni comience a producirse el deslizamiento es necesario que la fuerza de frenado no supere cierto valor máximo, pero ... por otro lado ... ¿no es preciso que la fuerza de frenado sea mayor que cierto valor mínimo para que el auto pueda pasar de \( v_0 \) a \( v=0 \) en la distancia \( e \)? Disculpa por mis dudas de principiante ...
Saludos

[Richard R Richard]

Hola, JCB:

...
Además, son las fuerzas de frenado máximas que debe proporcionar el sistema de frenado, ya que si se superasen, se bloquearían los neumáticos, comenzando a deslizar ...

Entiendo que para que no se bloqueen las ruedas ni comience a producirse el deslizamiento es necesario que la fuerza de frenado no supere cierto valor máximo, pero ... por otro lado ... ¿no es preciso que la fuerza de frenado sea mayor que cierto valor mínimo para que el auto pueda pasar de \( v_0 \) a \( v=0 \) en la distancia \( e \)? Disculpa por mis dudas de principiante ...
Saludos

Disculpa me meta, efectivamente la suma de las fuerzas de frenado de los dos ejes deben ser lo suficientemente grandes para desacelerar el vehículo, el módulo de cada una de esas fuerzas debe ser menor al coeficiente de rozamiento  máximo (para no deslizar) multiplicada por la normal en el punto de apoyo.
Si para detener el vehículo necesitas aplicar  mas fuerza que $$\mu_{e_{max}}N$$ el vehículo  deslizara con un coeficiente  menor $$\mu_d$$ y la distancia  de frenado sería  mayor que la distancia al reten ,colisionando.


Si el coeficiente  que sacas con los cálculos es menor al máximo entonces logrará frenar a tiempo, hay una gama de valores que permiten  frenar a cero antes (con el maximo $$\mu_e$$) y aplicando menos freno usar la distancia justa con menor coeficiente  $$\mu_e$$ qué el máximo ,pero maximizando la distancia de frenado justo al límite, superdo ese mínimo de.frenado también colisión.
Es decir hay dos formas de colisionar, por apretar poco freno o por mucho (que bloquea y desliza) con menor coeficiente que el máximo estático.

Cuando con la ecuación de cinemática calculas la aceleración eso ya te da un mínimo coeficiente  de rozamiento para frenar, si es menor que el máximo que es el dato del problema, no habría  colisión.

[ani_pascual]

Hola:

...
Disculpa me meta, efectivamente la suma de las fuerzas de frenado de los dos ejes deben ser lo suficientemente grandes para desacelerar el vehículo, el módulo de cada una de esas fuerzas debe ser menor al coeficiente de rozamiento  máximo (para no deslizar) multiplicada por la normal en el punto de apoyo.
...

Se me había pasado este mensaje...  Gracias por la explicación; me queda ahora más claro.
Saludos

[JCB]

Hola a tod@s.

A ver si me aclaro utilizando un ejemplo numérico:

\( m\ (\text{masa del vehículo, incluidos los ocupantes})=1.200\ kg \).

\( v_0\ (\text{velocidad inicial})=120\ km/h=33,33\ m/s \).

\( \mu_e\ (\text{coeficiente de rozamiento estático})=0,8 \).

\( e\ (\text{distancia hasta la retención})=100\ m \).

\( d\ (\text{distancia entre ejes del vehículo})=2,5\ m \).

\( h\ (\text{altura del cdm del vehículo, respecto del suelo})=0,5\ m \).

Las expresiones \( N_1=\dfrac{mg}{2}+\dfrac{mah}{d} \) y \( N_2=\dfrac{mg}{2}-\dfrac{mah}{d} \) de mi respuesta # 3, son generales y válidas para cualquier situación de frenado.

a) Aplicando la fuerza de frenado mínima para evitar la colisión.

La desaceleración mínima necesaria para evitar la colisión, es \( a=\dfrac{v_0^2}{2e}=5,56\ m/s^2 \).

Se obtiene \( N_1=7.513,89\ N \) y \( N_2=4.736,11\ N \).

La fuerza de frenado necesaria total, es \( F=ma=6.944,44\ N \), pero utilizando las ecuaciones fundamentales de la Dinámica, no se puede determinar por eje. Ahora bien, si hacemos la consideración de que la fuerza de frenado en el eje es proporcional a la reacción normal \( N \), entonces \( F_1=4.259,57\ N \) y \( F_2=2.684,87\ N \).

b) Aplicando la fuerza de frenado máxima que proporciona el sistema de frenado, sin llegar a deslizar.

La desaceleración máxima que proporciona el sistema de frenado es \( a=\mu_eg=7,84\ m/s^2 \).

Se obtiene \( N_1=8.085,00\ N \) y \( N_2=4.165,00\ N \).

La fuerza de frenado total, es \( F=ma=9.800\ N \).

En caso de desaceleración máxima, las fuerzas de frenado por eje serían \( F_1=\mu_eN_1=6.468\ N \) y \( F_2=\mu_eN_2=3.332\ N \).

Saludos cordiales,
JCB.