Sea $$ABCD$$ un cuadrilátero convexo con diagonales $$AC$$ y $$BD.$$ Si $$M$$ y $$N$$ son los puntos medios de estas diagonales, demuestre que:
i) $$MN^2=\frac{1}{4}( AC^2+AD^2+BC^2+BD^2-AB^2-CD^2 )$$
ii) Concluir que en todo paralelogramo la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales.
Denotando por : $$m_{m}=MN ; \ \hat{b}=AC ; \ p=AD ; \ a=BC ; \ m=BD ; \ c=AB ; \ q=CD \ ; d=MB ; \ b=MD. $$
Asi debemos probar: $$ m_{m}^2=\frac{1}{4} (\hat{b}^2+p^2+a^2+m^2-c^2-q^2) $$
Usando el Teorema de las medianas: $$m^2+4m_{m}^2=2(b^2+d^2) ....................(*) \ \ ; $$
$$ \hat{b}^2+4d^2=2(a^2+c^2) \ \ $$ y
$$\hat{b}^2+4b^2=2(p^2+q^2)$$
Sumando las 2 ultimas igualdades: $$2\hat{b}^2+4(b^2+d^2)=2(a^2+c^2+p^2+q^2) \Rightarrow{ 2 (b^2+d^2)=a^2+c^2+p^2+q^2-\hat{b}^2 .} $$
Sustituyendo en $$(*)$$ tenemos : $$ m^2+4m_{m}^2= a^2+c^2+p^2+q^2-\hat{b}^2$$ luego $$ m_{m}^2=\frac{1}{4} (a^2+c^2+p^2+q^2-\hat{b}^2-m^2) .$$
Y me sale diferente de lo que debo probar. Donde esta el error
o como concluyo.
