[JCB]

Hola a tod@s.

A continuación, el enunciado literal de un ejercicio que considero interesante:



El dragster tiene una masa de \( 1.200\ kg \) y un centro de masa en \( G \). Si se fija un paracaídas de frenado en \( C \) y genera una fuerza de frenado horizontal \( F=1,6v^2 \) (en newtons), donde \( v \) está en \( m/s \), determine la velocidad crítica que el dragster puede tener al desplegar el paracaídas, de modo que las ruedas \( B \) estén a punto de perder el contacto con el suelo (es decir, que la reacción normal en \( B \) sea cero). Si esa condición ocurre, determine la desaceleración inicial del dragster. Ignore la masa de las ruedas y suponga que el motor se apaga de manera que las ruedas roten libremente.

Saludos cordiales,
JCB.

[delmar]

Hola

Una forma :

Spoiler

Considerando una referencia solidaria a tierra XY, tal que el eje X coincide con el suelo, positivo a la derecha, el eje Y vertical positivo hacia arriba, en la desaceleración del dragster \( a_D=-a \), al considerar que el motor se apaga, deja de proporcionar el torque impulsor y al despreciar las masas de las ruedas se puede considerar al dragster como un cuerpo rígido en consecuencia con rigor se cumple :

\( \displaystyle\sum_{}^{}f_x=F_A+F_B-1.6v_D^2=m_D(-a)=-1200  \ a \) Ec 1

Donde \( F_A,F_B \) son las fuerzas de rozamiento en las ruedas hacia la derecha, las ruedas ruedan sin deslizamiento para lograr la tracción mayor, \( v_D \) es la velocidad del dragster

\( \displaystyle\sum_{}^{}f_y=N_A+N_B-1200 \ g =0 \) Ec 2

Donde \( N_A,N_B \) son las reacciones normales de las ruedas

El dragster ha de cumplir la ecuación de momentos llevados a G, evidentemente su aceleración angular es nula durante el proceso, tiene movimiento lineal

\( \displaystyle\sum_{}^{}M_G=0\Rightarrow{-N_A1.25+N_B 1.32+(F_A+F_B)0.35+1.6v_D^2 \ 0.75=0} \) Ec 3

En la situación crítica \( N_B=0\Rightarrow{F_B=0} \) el hecho que las ruedas giran libremente implica despreciar la fuerza de rozamiento en A, luego \( F_A=0 \)

Con esto las ecuaciones 1, 2 y 3 se simplifican :

\( -1.6v_D^2=-1200 \  \ a \)

\( N_A=1200 \ g  \)

\( -N_A1.25+1.6v_D^2 \ 0.75=0\Rightarrow{v_D=110}  \) m/s

\( a=\displaystyle\frac{1.6(110)^2}{1200}=16.13 \ \ m/s^2 \) es elevada

[cerrar]

Saludos

[Richard R Richard]

Mi interpretación es levemente diferente.
Las ruedas giran libremente así que no hay fricción

Luego $$\sum F_x=1.6v^2=ma$$

Cuando la reacción de B es nula toda la normal al suelo pasa por A.

$$\sum F_y=mg-R_A=0$$

Luego falta el equilibrio de momentos... que no hay que calcularlo en el punto de apoyo A sino en el centro de la rueda qué apoya en A . cuya altura no tenemos o no la veo.
 Si el centro  de masa está por encima, debajo o igual altura que el centro de la rueda , cambiará su contribución.

Si el centro de la rueda esta a x de altura respecto del suelo

$$\sum M=0=0.16v^2(0.75-x)-mg(x-0.35)-mg1.25$$

Así que se puede calcular $$a$$ en función de la posición del centro  de la rueda del Dragster, que será lo más alta posible para que lacdiferencia con rl gancho del paracaídas  sea mínima.


Convengamos que cuando queremos un paracaídas más grande el gancho debe estar a mayor altura que 0.75 que es el dato del problema.

[ani_pascual]

Hola:

...
Luego falta el equilibrio de momentos... que no hay que calcularlo en el punto de apoyo A sino en el centro de la rueda qué apoya en A . cuya altura no tenemos o no la veo.
 ...

No entiendo porqué, una vez que toda la normal se ejerce en el punto \( A \), se ha de tomar momentos respecto al centro de la rueda. Yo lo haría respecto a \( A \):
Como es \( N_B=0,F_B=0 \) quedaría:
\( N_A=mg\\
-F_A-1,6v^2=ma\\
1,6v^2\cdot 1,10-mg\cdot 1,25=0 \) de donde \( v=91,39\,m/s=329\,km/h \) y la aceleración inicial, \( (F_A=0), a=-11,136\,m/s^2 \)
Un resultado un poco menor que el obtenido por delmar.
A ver qué solución nos propone JCB 
Saludos

[JCB]

Hola a tod@s.

Antes de publicar el ejercicio, hice el desarrollo que viene a continuación, considerando que el sentido positivo del eje \( X \) es hacia la izquierda, y el sentido positivo del eje \( Y \), es hacia arriba.

\( \sum{F_x}=ma_x \)

\( F=ma \) (1)

\( \sum{F_y}=0 \)

\( N_A-mg=0 \)

\( N_A=mg \) (2)

\( \sum{M_G}=0 \) (aplico momentos respecto del cdm)

\( F\cdot0,75-N_A\cdot1,25=0 \). Sustituyendo (1) y (2),

\( 0,75ma-1,25mg=0 \)

\( a=\dfrac{1,25}{0,75}g=16,33\ m/s^2 \)

Según el enunciado, \( v=\sqrt{\dfrac{F}{1,6}}=\sqrt{\dfrac{ma}{1,6}}=110,68\ m/s=398,45\ km/h \).

Valores parecidos a los obtenidos por delmar.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

No entiendo porqué, una vez que toda la normal se ejerce en el punto \( A \), se ha de tomar momentos respecto al centro de la rueda. Yo lo haría respecto a \( A \):

Por esta razón,

Spoiler

Si quieres voltear una ficha de domino , aplicas fuerza a la altura de las aristas superiores  y no en las aristas de la base... rota mas fácil si el CG está por debajo que por encima de la linea de la fuerza, en una situación  el momento del CG tiende a restablecer el equilibrio y en la otra ayuda al volteo.

Entiendo que con mi postura  le encuentro  una pata más al problema, dice que es libre de girar y no libre de tumbar en el apoyo.

Imagina dos situaciones vehículo detenido, rueda frenada y tiras como lo hace el paracaídas, ahí el punto de apoyo es A y ahora piensa  lo mismo pero la rueda es libre de girar, parte de la fuerza se empleada en rotar libremente  las ruedas y no en voltear, la situación  se empeora si la línea de fuerza se acerca a piso es decir cuando está más baja que el punto  donde puede rotar libremente que es el eje de la rueda y no donde la rueda fricciona con el piso..

[cerrar]

Edito
Justo que estaba contestando vi la respuesta  de JCB. No se cuan realista intenta ser la situación  del problema que nos traes,  pero un dragster acelera a casi 8 G y desacelera con 6 G , muy por debajo de lo calculado, el punto C va por debajo del eje de la rueda, se usan alerones para incrementar la fuerza en B y que la rotación de las ruedas no lo levante sin carga a aerodinámica, ni acelerando ni frenando, toda la fuerza aerodinámica aplicada en B termina siendo útil en A para que no derrape y tenga más agarre al suelo , incluso los alerones traseros superiores se ponen previos al eje para contribuir al momento  en sentido inverso al momento  del par de impulsión y del frenado.