Hola:
Probar que : $$\cos( \sin (x)) > \sin(\cos(x)) \ \ ; \ \ \forall x \in \mathbb{R} .$$
Sug: Escribir $$\sin(\cos(x))= \cos \Big(\frac{\pi}{2}-\cos(x) \Big). $$ En seguida transforme $$\cos( \sin (x)) - \sin(\cos(x))$$ en producto.
Ya se probo: $$cos(cos(x)) >0 \ \ ; \ \ \forall x \in \mathbb{R} . $$
Si no me equivoco...
Se tiene
\( \cos(\sin x)-\sin(\cos x)=\cos(\sin x)-\cos(\pi/2-\cos x)=\\-2\sin\left(\dfrac{\sin x+\pi/2-\cos x}{2}\right)\cdot\sin \left(\dfrac{\sin x-\pi/2+\cos x}{2}\right)=\\2\sin\left(\pi/4+\dfrac{\sin x-\cos x}{2}\right)\cdot \sin\left(\pi/4-\dfrac{\sin x+\cos x}{2}\right) \).
Ahora bien, (corríjanme si no es cierto)
\( \forall\,x\in\mathbb{R},\\\dfrac{-\sqrt{2}}{2}\leq \dfrac{\sin x-\cos x}{2}\leq \dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \) \( \dfrac{-\sqrt{2}}{2}\leq \dfrac{\sin x+\cos x}{2}\leq \dfrac{\sqrt{2}}{2} \).
Así, \( 0<2\cdot\sin\left(\pi/4-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot\sin\left(\pi/4-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\leq 2\sin\left(\pi/4+\dfrac{\sin x-\cos x}{2}\right)\cdot\sin\left(\pi/4-\dfrac{\sin x+\cos x}{2}\right) \) de donde \( \cos(\sin x)>\sin(\cos x) \)
Saludos
