Gracias por sus aportes
Richard R Richard,
ani_pascual y
JCBAhora voy a mostrar la resolución que he realizado y luego comento sobre las soluciones dadas y lo de IA y espero vuestros comentarios y reflexiones.
Adjunto un esquema de las fuerzas que actúan en el intervalo de tiempo \( [0,T] \) durante el cual el camión es acelerado con aceleración
a. En realidad este es el primer apartado de un problema real respecto al cual se me consultó, obviamente adaptado al foro, por eso estoy considerando un intervalo de tiempo de aceleración.
La segunda Ley de Newton para cuerpo rígido en el plano implica \( \forall{t}\in{[0,T]} \):
Dirección
x\( \displaystyle\sum_{}^ {}f_x=m \ a_A\Rightarrow{F=m \ a_A=m \ x''_A} \) Ec 1, donde
F es la fuerza de rozamiento, que en general sería una función del tiempo en \( [0,T] \) y \( a_A \) es la aceleración del centro de masa del cilindro, punto A.
Dirección
y\( \displaystyle\sum_{}^ {}f_y=0\Rightarrow{N-P=0}\Rightarrow{N=mg} \)
Momentos respecto al eje
z\( \displaystyle\sum_{}^ {}M_z=I \ \alpha\Rightarrow{M=I \alpha}\Rightarrow{F \ r=(\displaystyle\frac{1}{2})mr^2 \ \alpha} \) Ec 2
Estas relaciones se cumplen \( \forall{t}\in{[0,T]} \)
De las Ec 1 y 2 se tiene : \( m \ x''_A \ r=(\displaystyle\frac{1}{2})mr^2 \alpha\Rightarrow{2 x''_A=r \alpha} \) Ec 3
La condición de no deslizamiento implica que el punto de contacto del cilindro
B con la superficie del camión \( \forall{t}\in{[0,T]} \) tiene la misma velocidad del camión.
Velocidad del camión en el tiempo de aceleración.
\( x''_c=a\Rightarrow{x'_c=at} \) válido \( \forall{t}\in{[0,T]} \) donde
c indica camión.
Es obvio que el punto material B, varía en el tiempo; pero siempre tiene la velocidad del camión (no hay deslizamiento) entonces \( V_B=x'_B\vec{i}=at \ \vec{i} \) y la posición de A es constante respecto a B, considerando una referencia xyz, paralela a la solidaria a tierra, \( r_{A/B}=r \ \vec{j} \)
Luego se tiene la relación de velocidades para todo par de puntos de un cuerpo rígido :
\( V_A=V_B+w \ x \ r_{A/B}\Rightarrow{x'_A \vec{i}=x'_B \ \vec{i}+w \vec{k} \ x \ (r \ \vec{j})}\Rightarrow{x'_A \ \vec{i}=(at-wr) \ \vec{i}}\Rightarrow{x'_A=at-wr} \ \ \forall{t}\in{[0,T]} \) Ec 4
Derivando respecto al tiempo la Ec 4 se tiene :
\( x''_A=a- r \alpha \ \ \forall{t}\in{[0,T]} \) Ec 5
Considerando las Ec 3 y 5 se llega a \( 3x''_A=a \ \ \ \forall{t}\in{[0,T]} \)
Esta conclusión es importante nos dice que la aceleración del centro de masa del cilindro es constante y esto implica que F, M y \( \alpha \) son constantes en el intervalo \( [0,T] \)
Finalmente \( F\leq{\mu_s \ mg}\Rightarrow{mx''_A\leq{\mu_s \ mg}}\Rightarrow{\displaystyle\frac{a}{3}\leq{\mu_s \ g}}\Rightarrow{a\leq{3 \mu_s g}} \)
Que en efecto es la respuesta que da la IA, reconozco que a este problema lo subestime y cometí errores de los cuales felizmente me di cuenta; pero finalmente todo se hizo coherente y la IA tenía razón. Respecto a la resolución de
Richard R Richard se esta considerando
a como aceleración del cilindro; pero
a es la del camión y llega a \( Fr=ma=\displaystyle\frac{1}{2}ma \) hay un error. Respecto al desarrollo de
JCB llega al resultado; pero estoy de acuerdo con
Masacroso el centro de masa del cilindro también acelera hacia la derecha con menor valor la tercera parte de
a en forma genérica y el cilindro rueda en sentido antihorario (sentido del momento) y una inquietud ¿\( \alpha=\displaystyle\frac{a_c}{r} \)?
\( a_c \) es la aceleracion relativa del cilindro.
Gracias a todos, si tengo tiempo enunciaré el segundo apartado, espero comentarios
Saludos
