[Nub]

Hola, queria probar que \( A=span\left\{{(1,1,−1),(−2,3,0)}\right\} \) y \( B=span\left\{{(1,0,\displaystyle\frac{−3}{5}),(−1,4,-1)}\right\} \)

Básicamente hay que probar la doble incluison, lo primero que fui a hacer fue intentar probar que \( \alpha(1,1,-1)+\beta(-2,3,0)\in{B} \) y luego probar que \( \alpha(1,0,\displaystyle\frac{-3}{5})+\beta(-1,4,-1)\in{A} \)

Pero podría por ejemplo probar que \( (1,1,-1)\in{B} \), luego \( (-2,3,0)\in{B} \) y como ambos pertencen a B, cualquier combinación lineal de estos también, entonces probamos lo mismo que arriba, es decir \( \alpha(1,1,-1)+\beta(-2,3,0)\in{B} \)

¿Esta bien? le pregunta a chatgpt y me confundió mas aun asi creo al 99% que esta bien eso

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, queria probar que \( A=span\left\{{(1,1,−1),(−2,3,0)}\right\} \) y \( B=span\left\{{(1,0,\displaystyle\frac{−3}{5}),(−1,4,-1)}\right\} \)

Básicamente hay que probar la doble incluison, lo primero que fui a hacer fue intentar probar que \( \alpha(1,1,-1)+\beta(-2,3,0)\in{B} \) y luego probar que \( \alpha(1,0,\displaystyle\frac{-3}{5})+\beta(-1,4,-1)\in{A} \)

Pero podría por ejemplo probar que \( (1,1,-1)\in{B} \), luego \( (-2,3,0)\in{B} \) y como ambos pertencen a B, cualquier combinación lineal de estos también, entonces probamos lo mismo que arriba, es decir \( \alpha(1,1,-1)+\beta(-2,3,0)\in{B} \)

Eso es correcto.

Alguna observación:

- Tanto \( A,B \) están generados por dos vectores linealmente independientes (porque uno no es múltiplo del otro). Por tanto son subespacios vectoriales de dimensión \( 2 \). Si uno está incluído en el otro automáticamente son iguales.

- Por tanto llega con que pruebes que \( (1,1,-1)\in{B} \) y \( (-2,3,0)\in{B} \)

- Otra forma rápida de comprar lo que te piden es comprobar que el rango de la matriz que forman los cuatro vectores es \( 2 \) y por tanto los cuatro están contenidos en un subespacio de dimensión \( 2 \). Como \( dim(A)=dim(B)=2 \) necesariamente tiene que ser el mismo subespacio.

Saludos.

[Nub]

Gracias Luis