Hola
Sobre esta constante tan misteriosa, he puesto esta combinación, y parece que se acerca a 4 a medida que N aumenta. Lo he probado hasta 500000000 (el límite de mi ordenador).
\(
T = \dfrac{
\sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{\sqrt{n}} - \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \right) - \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{n} - \ln\left(1 + \frac{1}{\sqrt{n}}\right) \right)
}{
\sqrt{N}
}\approx{4}
\)
Recordamos que la constante de Euler-Mascheroni es :
\(
\gamma = \displaystyle\lim_{n\to{+}\infty}{\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n \right)}\approx{0.57721566490153286060651209}
\)
No tiene demasiada relación con la constante de Euler-Mascheroni. Simplemente se tiene que:
\( \displaystyle\lim_{N \to{+}\infty}{}\dfrac{ \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{\sqrt{n}} - \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \right) - \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{n} - \ln\left(1 + \frac{1}{\sqrt{n}}\right) \right) }{ \sqrt{N} }=4 \)
Para comprobarlo se puede calcular por separado:
\( \displaystyle\lim_{N \to{+}\infty}{}\dfrac{ \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{\sqrt{n}} - \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \right) }{ \sqrt{N} } \)
y
\( \displaystyle\lim_{N \to{+}\infty}{}\dfrac{ \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{n} - \ln\left(1 + \frac{1}{\sqrt{n}}\right) \right) }{ \sqrt{N} } \)
El primero por el Teorema de Stolz queda:
\( \displaystyle\lim_{N \to{+}\infty}\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{N+1}}-ln\left(1+\dfrac{1}{N+1}\right)}{\sqrt{N+1}-\sqrt{N}} \)
Multiplicando numerador y denominador por \( \sqrt{N+1}+\sqrt{N} \) queda:
\( \displaystyle\lim_{N \to{+}\infty}1+\dfrac{\sqrt{N}}{\sqrt{N+1}}-\sqrt{N+1}ln\left(1+\dfrac{1}{N+1}\right)-\sqrt{N}ln\left(1+\dfrac{1}{N+1}\right)=1+1-0-0=2 \)
El otro razonando análogamente queda:
\( \displaystyle\lim_{N \to{+}\infty}\dfrac{\sqrt{N+1}}{N+1}+\dfrac{\sqrt{N}}{N+1}-\sqrt{N+1}ln\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{N+1}}\right)-\sqrt{N}ln\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{N+1}}\right)=0+0-1-1=-2 \)
El límite original queda \( 2-(-2)=4 \).
Saludos.
