[Chorite]

Hola, tengo el siguiente problema, me dan una mano?:

Sea \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) la función definida por:

\[
f(x,y)=
\begin{cases}
\dfrac{1}{x^2+y^2}, & \text{si } x^2+y^2\neq 0,\\[6pt]
0, & \text{si } x^2+y^2=0.
\end{cases}
\]

Muestre, si es que existe, un ejemplo de un conjunto compacto \( A\subseteq{\mathbb{R^2}} \) tal que \(f(A)\) no sea compacto. En caso de que no exista, explique por qué.

[Masacroso]

Hola, tengo el siguiente problema, me dan una mano?:

Sea \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) la función definida por:

\[
f(x,y)=
\begin{cases}
\dfrac{1}{x^2+y^2}, & \text{si } x^2+y^2\neq 0,\\[6pt]
0, & \text{si } x^2+y^2=0.
\end{cases}
\]

Muestre, si es que existe, un ejemplo de un conjunto compacto \( A\subseteq{\mathbb{R^2}} \) tal que \(f(A)\) no sea compacto. En caso de que no exista, explique por qué.

Te dejo una pista: la función dada no es continua.

[ani_pascual]

Hola:

Hola, tengo el siguiente problema, me dan una mano?:
...

Igual con la gráfica se te ocurre algo...

Spoiler

Puedes tomar, por ejemplo, una bola  cerrada de centro el origen y radio \( r>0 \), \( A=\bar{B}((0,0),r) \), que es compacto. Se ve que su imagen, no es acotada, luego no es un compacto.
Corregido

[cerrar]

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Te dejo una pista: la función dada no es continua.

Solo un comentario sobre esto, por si podría entenderse con cierta ambigüedad la pista.

Spoiler

- Toda función continua lleva compactos en compactos.
- Pero una función no continua también puede llevar compactos en compactos. Es decir la no continuidad por si sola, no garantiza, que exista un compacto cuya imagen no sea compacta.

Lo que si que es cierto es que si la función no es continua y uno pretende buscar un candidato a compacto cuya imagen no sea compacta (suponiendo que exista), éste tendrá que tener relación con los punto de discontinuidad.

[cerrar]

Saludos.

[Chorite]

Hola, tengo el siguiente problema, me dan una mano?:

Sea \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) la función definida por:

\[
f(x,y)=
\begin{cases}
\dfrac{1}{x^2+y^2}, & \text{si } x^2+y^2\neq 0,\\[6pt]
0, & \text{si } x^2+y^2=0.
\end{cases}
\]

Muestre, si es que existe, un ejemplo de un conjunto compacto \( A\subseteq{\mathbb{R^2}} \) tal que \(f(A)\) no sea compacto. En caso de que no exista, explique por qué.

Te dejo una pista: la función dada no es continua.

Hola:

Hola, tengo el siguiente problema, me dan una mano?:
...

Igual con la gráfica se te ocurre algo...

Spoiler

Puedes tomar, por ejemplo, una bola  cerrada de centro el origen y radio \( r>0 \), \( A=\bar{B}((0,0),r) \), que es compacto. Se ve que su imagen, no es acotada, luego no es un compacto.
Corregido

[cerrar]

Saludos

Hola

Te dejo una pista: la función dada no es continua.

Solo un comentario sobre esto, por si podría entenderse con cierta ambigüedad la pista.

Spoiler

- Toda función continua lleva compactos en compactos.
- Pero una función no continua también puede llevar compactos en compactos. Es decir la no continuidad por si sola, no garantiza, que exista un compacto cuya imagen no sea compacta.

Lo que si que es cierto es que si la función no es continua y uno pretende buscar un candidato a compacto cuya imagen no sea compacta (suponiendo que exista), éste tendrá que tener relación con los punto de discontinuidad.

[cerrar]

Saludos.

Muchas gracias a todos por tomarse un tiempo para ayudarme. me quedo clarísimo el ejercicio.