[Chorite]

Hola! tengo la siguiente demostracion, pero verdaderamente no se por donde arrancar. Me dan una mano?

sea \(D \subseteq{}\mathbb{R}^2\) un conjunto cerrado tal que \[\left\{ \left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n^2}\right) : n \in \mathbb{N}^+ \right\} \subseteq{ }D\] Entonces \((0,0) \in D\).

Gracias!

[Carlos Ivorra]

sea \(D \subseteq{}\mathbb{R}^2\) un conjunto cerrado tal que \[\left\{ \left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n^2}\right) : n \in \mathbb{N}^+ \right\} \subseteq{ }D\] Entonces \((0,0) \in D\).

Si \( D \) es cerrado, entonces \( D = \overline D \). ¿Puedes probar que \( (0, 0) \) está en la clausura de \( D \)?  Eso significa probar que todo entorno de \( (0, 0) \) contiene un punto de \( D \). O tal vez sepas que eso equivale a que \( (0,0) \) es el límite de una sucesión contenida en \( D \).

[martiniano]

Hola.

No estoy muy suelto con esto de la topología pero diría que si un conjunto es cerrado contiene a todos sus puntos de acumulación, y el \[ (0,0) \] debe ser un punto de acumulación de D porque cualquier abierto que contenga el  \[ (0,0) \] contendrá elementos de la forma \[ (\displaystyle\frac{1}{n},\displaystyle\frac{1}{n^2}) \].

Un saludo.

Pd. Carlos se adelantó.

[ani_pascual]

Hola:

Hola! tengo la siguiente demostracion, pero verdaderamente no se por donde arrancar. Me dan una mano?

sea \(D \subseteq{}\mathbb{R}^2\) un conjunto cerrado tal que \[\left\{ \left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n^2}\right) : n \in \mathbb{N}^+ \right\} \subseteq{ }D\] Entonces \((0,0) \in D\).

Gracias!

Como veo que se han adelantado, Carlos Ivorra y martiniano, mi comentario va en spoiler  , por si te interesa

Spoiler

Si \( D \) es cerrado contiene a los puntos adherentes; por tanto, como  \( \lim\limits_{n\to \infty}\left(\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n^2}\right)=(0,0) \),es \( (0,0)\in \textcolor{red}{\overline{D}}\subset D \)

[cerrar]

Corregido 
Saludos

[Chorite]

Hola.

No estoy muy suelto con esto de la topología pero diría que si un conjunto es cerrado contiene a todos sus puntos de acumulación, y el \[ (0,0) \] debe ser un punto de acumulación de D porque cualquier abierto que contenga el  \[ (0,0) \] contendrá elementos de la forma \[ (\displaystyle\frac{1}{n},\displaystyle\frac{1}{n^2}) \].

Un saludo.

Pd. Carlos se adelantó.

sea \(D \subseteq{}\mathbb{R}^2\) un conjunto cerrado tal que \[\left\{ \left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n^2}\right) : n \in \mathbb{N}^+ \right\} \subseteq{ }D\] Entonces \((0,0) \in D\).

Si \( D \) es cerrado, entonces \( D = \overline D \). ¿Puedes probar que \( (0, 0) \) está en la clausura de \( D \)?  Eso significa probar que todo entorno de \( (0, 0) \) contiene un punto de \( D \). O tal vez sepas que eso equivale a que \( (0,0) \) es el límite de una sucesión contenida en \( D \).

Hola:

Hola! tengo la siguiente demostracion, pero verdaderamente no se por donde arrancar. Me dan una mano?

sea \(D \subseteq{}\mathbb{R}^2\) un conjunto cerrado tal que \[\left\{ \left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n^2}\right) : n \in \mathbb{N}^+ \right\} \subseteq{ }D\] Entonces \((0,0) \in D\).

Gracias!

Como veo que se han adelantado, Carlos Ivorra y martiniano, mi comentario va en spoiler  , por si te interesa

Spoiler

Si \( D \) es cerrado contiene a los puntos adherentes; por tanto, como  \( \lim\limits_{n\to \infty}\left(\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n^2}\right)=(0,0) \),es \( (0,0)\in \textcolor{red}{\overline{D}}\subset D \)

[cerrar]

Corregido 
Saludos

Muchas gracias a todos por su ayuda!