[merciparis]

Buenas tardes, planteo el siguiente ejercicio cuya resolución me ha causado alguna duda.

Consideramos el anillo finito \( \mathbb{Z}_{143} \) y la función:
\[ \lambda:\mathbb{Z}_{143}\rightarrow{}\mathbb{Z}_{143}: \lambda(x)=x^7 \].
Nos piden determinar la función \( h(x)=x^k \) que sea inversa de \( \lambda \).

He comenzado el ejercicio considerando los elementos del anillo coprimos con 143. A ellos les puedo aplicar la congruencia de Euler: \( x^{\phi(143)}=1  \) mod 143. Como necesitamos que \( x^{7k}=x \) mod 143, realizando algunas cuentas llego a que k=103.
Sin embargo, no sé como probar que para este valor de k \( h(x) \) es también la inversa para los elementos del anillo que no son coprimos con 143.


Un saludo, y muchas gracias por adelantado.

[Masacroso]

Si lo que te piden es la inversa, ¿no debería ser \( x^{7k}\equiv x\bmod 143 \)? Lo anterior es equivalente a \( x(x^{7k-1}-1)\equiv 0\bmod 143 \), que cuando \( x \) es invertible es equivalente a tomar \( x^{7k-1}\equiv 1 \bmod 143 \), y en otro caso debe ocurrir que

\[
11^{7k-1}-1\equiv 13 \,\land\, 13^{7k-1}-1 \equiv 11 \mod 143
\]

Lo dejo así planteado, no tengo la solución por ahora. Si nadie se adelanta y da una respuesta completa, mañana le echo otro vistazo al ejercicio.

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas tardes, planteo el siguiente ejercicio cuya resolución me ha causado alguna duda.

Consideramos el anillo finito \( \mathbb{Z}_{143} \) y la función:
\[ \lambda:\mathbb{Z}_{143}\rightarrow{}\mathbb{Z}_{143}: \lambda(x)=x^7 \].
Nos piden determinar la función \( h(x)=x^k \) que sea inversa de \( \lambda \).

He comenzado el ejercicio considerando los elementos del anillo corrimos con 143. A ellos les puedo aplicar la congruencia de Euler: \( x^{\phi(143)}=1  \) mod 143. Como necesitamos que \( x^{7k}=1 \) mod 143, realizando algunas cuentas llego a que k=103.
Sin embargo, no sé como probar que para este valor de k \( h(x) \) es también la inversa para los elementos del anillo que no son coprimos con 143.

Tengo algo de prisa ahora. Pero de esta ecuación que puso Masacroso:

Si lo que te piden es la inversa, ¿no debería ser \( x^{7k}\equiv x\bmod 143 \)? Lo anterior es equivalente a \( x(x^{7k-1}-1)\equiv 0\bmod 143 \)

En realidad basta probar que si \( x \) es múltiplo de \( 11 \), \( x^{7k-1}-1=0 \) mod \( 13 \) y si es múltiplo de \( 13 \) que  \( x^{7k-1}-1=0 \) mod \( 11 \).

Con el valor que das, eso es inmediato usando el pequeño Teorema de Fermat.

Saludos.

[merciparis]

En realidad basta probar que si \( x \) es múltiplo de \( 11 \), \( x^{7k-1}-1=0 \) mod \( 13 \) y si es múltiplo de \( 13 \) que  \( x^{7k-1}-1=0 \) mod \( 11 \).

Con el valor que das, eso es inmediato usando el pequeño Teorema de Fermat.

Muchas gracias por la respuesta. Entiendo que probado que \( x^{7k-1}-1=0 \) mod \( 13 \), y sabiendo que si x es múltiplo de 11 entonces, \( x^{7k-1}-1=-1 \) mod \( 11 \), puedo concluir que \( x^{7k-1}-1=0\cdot (-1)=0 \) mod \( 143 \), por el Teorema de los restos chinos. ¿Sería correcto tal razonamiento?.
Saludos.

[merciparis]

Si lo que te piden es la inversa, ¿no debería ser \( x^{7k}\equiv x\bmod 143 \)?

Si, tienes toda la razón. Cometí un error al escribirlo. Muchas gracias por la respuesta.
Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Muchas gracias por la respuesta. Entiendo que probado que \( x^{7k-1}-1=0 \) mod \( 13 \), y sabiendo que si x es múltiplo de 11 entonces, \( x^{7k-1}-1=-1 \) mod \( 11 \), puedo concluir que \( x^{7k-1}-1=0\cdot (-1)=0 \) mod \( 143 \), por el Teorema de los restos chinos. ¿Sería correcto tal razonamiento?.
Saludos.

 
No. De hecho eso no es cierto. SI  \( x^{7k-1}-1=0\cdot (-1)=0 \) mod \( 143 \) entonces necesariamente  \( x^{7k-1}-1=0\cdot (-1)=0 \) mod \( 11 \), porque \( 143 \) es múltiplo de \( 11 \).

Lo que tienes simplemente es que si \( x^{7k-1}-1=0 \) mod \( 13 \) y además \( x \) es múltiplo de \( 11 \) entonces obviamente el producto de ambas cosas:

\( x(x^{7k-1}-1=0) \)

es múltiplo de \( 11\cdot 13=143 \) que es lo que buscas.

Saludos.

[merciparis]

Hola

Muchas gracias por la respuesta. Entiendo que probado que \( x^{7k-1}-1=0 \) mod \( 13 \), y sabiendo que si x es múltiplo de 11 entonces, \( x^{7k-1}-1=-1 \) mod \( 11 \), puedo concluir que \( x^{7k-1}-1=0\cdot (-1)=0 \) mod \( 143 \), por el Teorema de los restos chinos. ¿Sería correcto tal razonamiento?.
Saludos.

 
No. De hecho eso no es cierto. SI  \( x^{7k-1}-1=0\cdot (-1)=0 \) mod \( 143 \) entonces necesariamente  \( x^{7k-1}-1=0\cdot (-1)=0 \) mod \( 11 \), porque \( 143 \) es múltiplo de \( 11 \).

Lo que tienes simplemente es que si \( x^{7k-1}-1=0 \) mod \( 13 \) y además \( x \) es múltiplo de \( 11 \) entonces obviamente el producto de ambas cosas:

\( x(x^{7k-1}-1=0) \)

es múltiplo de \( 11\cdot 13=143 \) que es lo que buscas.

Saludos.

Entendido. Muchas gracias.
Saludos.