Saludos a todos, es mi primera vez publicando en este foro. Vengo con la siguiente pregunta: ¿Por qué son equivalentes las siguientes definiciones del continuo de Knaster?
La primera definición es topológica, dada por el límite inverso de funciones tienda. Explícitamente sería lo siguiente:
Tomamos la función \( f:[0,1]\to [0,1] \) dada por \( f(x)=\begin{cases}{2x}&\text{si}& 0\leq x\leq\frac{1}{2}\\2-2x & \text{si}& \frac{1}{2}<x\leq 1\end{cases} \)
Luego definimos nuestro continuo de Knaster como el límite inverso del intervalo con funciones ligadura \( f \), es decir, \( \mathcal{K} := \varprojlim([0,1],f) = \left\{(x_n)\in [0,1]^\mathbb{N} : f(x_n)=x_{n+1}\right\} \)
La segunda definición es geométrica:
En el plano, consideramos el conjunto de Cantor ternario usual \( \mathcal{C} \) encajado en el intervalo \( [0,1] \) del eje \( x \).
Nuestro continuo de Knaster es \( \mathcal{K}:=K_1\cup K_2 \), siendo \( K_1,\; K_2 \) los siguientes conjuntos:
\( K_1 = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: (x-\frac{1}{2})^2+y^2=r^2,\; y\geq 0,\; r+\frac{1}{2}\in\mathcal{C}\;\bigr\} \) las semicircunferencias en el plano superior de centro \( (\frac{1}{2},0) \) y cuyos bordes pertenecen a \( \mathcal{C} \)
\( K_2 = \bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}\biggl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: (x-\frac{5}{2\cdot 3^n})^2+y^2=r^2,\; y\leq 0,\; r+\frac{5}{2\cdot 3^n}\in\mathcal{C}\cap[\frac{2}{3^n},\frac{1}{3^{n-1}}]\biggr\} \) las semicircunferencias en el plano inferior obtenidas reflejando el conjunto \( \frac{1}{3^n}\cdot K_1 \) respecto al eje \( x \) y trasladándolo.
Adjunto una imagen para ayudar a visualizar esta unión.
Cualquier ayuda para encontrar un homeomorfismo entre estos dos espacios topológicos será más que bienvenida. Sé que es un resultado conocido y constantemente asumido, pero a pesar de buscar (bastante incansablemente) no logré encontrar el homeomorfismo explícito en ningún lado. Muchas gracias de antemano :]
